巧用待定系數法求解一類二元二次函數最值范圍

陜西省城固師范學校(723200) 劉敬民

對于“實數x,y滿足Ax2+Bxy+Cy2=D(D ?= 0),求s=ux2+vxy+wy2的取值范圍”的問題,在各級各類的數學考試和競賽中經常出現,而且在各類數學報刊雜志給出了不同的解法.文[1]采用消元替換法,以y=kx為起點,換元后實現雙變量的分離,達到消元的效果;文[2]根據x,y的齊次特點,采用整體代換,再通過換元轉化為求一元分式函數f(t) =值域問題;文[3]通過配方后用三角換元法處理此類問題;文[4]通過構造直線和圓錐曲線,利用直線和圓錐曲線的位置關系來解決問題,真可謂百花齊放,百家爭鳴.

本文利用待定系數法并借助于一個完全平方式的非負性,自然流暢的解決本文所涉及的二元二次函數的取值范圍問題.

不失一般性,設待求二元二次函數

其中K為待定系數,使(u ?AK)x2+(v ?BK)xy+(w ?CK)y2為一個完全平方式, 進一步由?= (u ?BK)2?4(v ?AK)(w ?CK) = 0 解的情形(二個解、一個解、無解)探求出s=ux2+vxy+wy2的最值從而得到取值范圍.

例1設x,y為實數, 且x2+xy+y2= 3, 求s=x2?xy+y2的取值范圍.

解s=x2?xy+y2=k(x2+xy+y2) + (1?k)x2?(1 +k)xy+ (1?k)y2.其中k為待定系數且使(1?k)x2?(1+k)xy+(1?k)y2為一個完全平方式,于是有?=(1+k)2?4(1?k)2=0,解之得

綜上所述,s=x2?xy+y2的取值范圍為[1,9].

例2設實數x,y滿足x2?2xy+y2= 4, 求:s=x2?2xy ?3y2取值范圍.

解s=x2?2xy ?3y2=k(x2?2xy+y2)+(1?

k)x2+ (2k ?2)xy ?(k+ 3)y2, 其中k為待定系數使(1?k)x2+ 2(k ?1)xy ?(k+ 3)y2為一個完全平方式,于是有?= 4(k ?1)2+4(1?k)(k+3) = 0, 進一步得?4k+4=0,k=1.

當k=1 時,由s=x2?2xy+y2?4y2=4?4y2.再由因此s≤4.

例3若實數x,y滿足x2+xy ?2y2= 1, 求:s=3x2?2xy ?y2的取值范圍.

解s= 3x2?2xy ?y2=k(x2+xy ?2y2)+(3?k)x2?(2 +k)xy+ (2k ?1)y2, 其中k為待定系數使(3?k)x2?(2+k)xy+(2k ?1)y2為一個完全平方式.于是有?=(2+k)2?4(3?k)(2k ?1)=0,解得k1=k2=(x?y)2.

當x=y時,方程組無解,因此故所求s=3x2?2xy ?y2的取值范圍為

例4若實數x,y滿足x2?2xy ?3y2= 1,求x2+y2的最小值.

解令s=x2+y2=k(x2?2xy ?3y2) + (1?k)x2+ 2kxy+ (1 + 3k)y2, 其中k為待定系數使(1?k)x2+ 2kxy+ (1 + 3k)y2為一個完全平方式, 于是有?= 4k2?4(1?k)(1+ 3k) = 0, 解之得k1=

當k1=時,

例5已知實數x,y滿足4x2+ 6xy+ 9y2= 1, 求4x2?9y2取值范圍.

解s= 4x2?9y2=k(4x2+ 6xy+ 9y2) + 4(1?k)x2?6kxy ?9(1 +k)y2, 其中k為待定系數使4(1?k)x2?6kxy ?9(1 +k)y2為一個完全平方式, 于是有?= 36k2+ 144(1?k)(1 +k) = 0, 解之得k1=

當k1=時,

當k2=時,

綜上所述,4x2?9y2取值范圍是