正本清源：統(tǒng)計(jì)與概率錯(cuò)例分析

李中清

我們?cè)趯W(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容后，會(huì)應(yīng)用這部分知識(shí)解決有關(guān)問題，但也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。下面就同學(xué)們常見的幾個(gè)習(xí)題解答的錯(cuò)誤，正本清源，分析錯(cuò)誤原因，供同學(xué)們借鑒。

一、概念不清，中位數(shù)沒排序

例1 （2020·浙江金華）數(shù)據(jù)1，2，4，5，3的中位數(shù)是

。

【錯(cuò)解】4。

【正解】數(shù)據(jù)1，2，4，5，3按照從小到大的順序排列是1，2，3，4，5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3。

故答案為3。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了中位數(shù)的定義。中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個(gè)數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）。如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會(huì)出錯(cuò)。

例2 （2019·山東東營(yíng)）東營(yíng)市某中學(xué)為積極響應(yīng)“書香東營(yíng)，全民閱讀”活動(dòng)，助力學(xué)生良好閱讀習(xí)慣的養(yǎng)成，形成濃厚的閱讀氛圍，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生平均每天的閱讀時(shí)間，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示，則在本次調(diào)查中，學(xué)生閱讀時(shí)間的中位數(shù)是。

【錯(cuò)解】1.5。

【正解】由統(tǒng)計(jì)表可知共有12+22+10+5+3=52（人），中位數(shù)應(yīng)為第26個(gè)數(shù)與第27個(gè)數(shù)的平均數(shù)，而第26 個(gè)數(shù)和第27 個(gè)數(shù)都是1，則中位數(shù)是1。

故答案為1。

【點(diǎn)評(píng)】學(xué)生閱讀時(shí)間在第一行中排序了，因而出現(xiàn)錯(cuò)解，誤認(rèn)為中位數(shù)是5個(gè)時(shí)間最中間的1.5。而本題中0.5出現(xiàn)12個(gè)，1出現(xiàn)22個(gè)……2.5出現(xiàn)3個(gè)，一共52個(gè)數(shù)據(jù)，中位數(shù)為排序后第26個(gè)數(shù)和第27個(gè)數(shù)的平均數(shù)。讀懂表格中數(shù)據(jù)的意義是解答本題的關(guān)鍵。

二、方法不明，加權(quán)平均沒用權(quán)

例3 （2020·四川甘孜）某班為了解同學(xué)們一周在校參加體育鍛煉的時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了10名同學(xué)，得到如下數(shù)據(jù)：

則這10名同學(xué)一周在校參加體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)是

小時(shí)。

【錯(cuò)解】6.5。

【正解】這10名同學(xué)一周在校參加體育鍛煉時(shí)間的平均數(shù)是5×1+ 6×4 + 7×3+ 8×210=6.6（小時(shí)）。

故答案為6.6。

【點(diǎn)評(píng)】本題錯(cuò)解求的是5，6，7，8四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而表格提供的信息是5 出現(xiàn)1次，6出現(xiàn)4次，7出現(xiàn)3次，8出現(xiàn)2次，故考查的是加權(quán)平均數(shù)。正確理解表格信息是解題關(guān)鍵。

三、主體不分，概率分步標(biāo)準(zhǔn)不一

例4 （2020·湖南湘潭）生死守護(hù)，致敬英雄。湘潭28名醫(yī)護(hù)人員所在的湖南對(duì)口支援湖北黃岡醫(yī)療隊(duì)紅安分隊(duì)，精心救治每一位患者，出色地完成了醫(yī)療救治任務(wù)。為致敬英雄，某校音樂興趣小組根據(jù)網(wǎng)絡(luò)盛傳的“紅旗小姐姐”跳的儋州調(diào)聲組建了舞蹈隊(duì)。現(xiàn)需要選取兩名學(xué)生作為舞蹈隊(duì)的領(lǐng)舞，甲、乙兩班各推薦了一男生和一女生。（溫馨提示：用男1、女1，男2、女2分別表示甲、乙兩班4名學(xué)生）

（1）請(qǐng)用列舉的方法寫出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。

（2）若選取的兩人來自不同的班級(jí)，且按甲、乙兩班先后順序選取，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中一男一女的概率。

【錯(cuò)解】（1）可能出現(xiàn)的結(jié)果有：男1男2、男1女2、女1男2、女1女2。

（2）列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

共有12種情況，其中恰好選中一男一女有8種情況，所以恰好選中一男一女的概率為812=23。

【正解】（1）可能出現(xiàn)的結(jié)果有：男1女1、男1 男2、男1 女2、男2 女1、男2 女2、女1女2。

（2）列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

共有4種情況，其中恰好選中一男一女有2種情況，所以恰好選中一男一女的概率為24=12。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列舉法和樹狀圖法，題目中要求“寫出所有可能的結(jié)果”，錯(cuò)解中將第（1）問誤認(rèn)為兩個(gè)人要來自不同班級(jí)，但題目沒有這樣的要求;第2問要求來自不同的班級(jí)，錯(cuò)解中卻沒注意。主體不明，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。

我們?cè)诮y(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用中，首先要讀懂題意，從題目中提煉出所需要的信息，再根據(jù)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的要求正確解答，這樣我們就能減少出錯(cuò)的可能，最終不出錯(cuò)。當(dāng)然，出錯(cuò)了也不要怕，我們只要找到錯(cuò)誤的原因，吃一塹，長(zhǎng)一智，就能不斷提高自己的思維能力和解決問題的能力。

（作者單位：江蘇省鹽城市潘黃初級(jí)中學(xué)）