“三角函數”及其符號的由來

郭金網

我們知道，三角函數在數學中有著十分重要的地位，在測量、導航、工程學以及物理學方面也有著廣泛的用途。我們在初中階段常見的三角函數包括“正弦”“余弦”“正切”，分別用符號“sin”“cos”“tan”來表示。大家在學習中是否有疑問，比如這些符號是從哪里來的？為什么三角函數的名稱與“弦”和“切”相關呢？且聽我慢慢講來。

1. 你們知道這些符號是從哪里來的嗎？

德國數學家雷基奧蒙坦是15世紀西歐數學界的領軍人物，他于1464年完成著作《論各種三角形》。在該書中，他正式提出了sine（正弦）一詞。而cosine（余弦）則是英國人根日爾首先使用的。tangent（正切）一詞最早出現在1620年由丹麥數學家托馬斯·芬克所著的《炮兵測量學》一書中。數學追求簡潔美，人們在使用這些名詞時思考：如何使書寫更方便呢？于是，阿貝爾特·格洛德于1626年最早推出“正弦”與“正切”的簡寫符號“sin”“tan”，“余弦”的簡寫符號“cos”則最早由英國人奧屈特于1675 年推出。而這些符號成為通用的符號，還是在1748年經過數學家歐拉的引用之后。

2. 為什么三角函數的名稱與“弦”和“切”相關呢？

我們來回憶一下：數學中哪些內容里有這樣的名稱呢？我們想到了圓。連接圓上任意兩點的線段叫作弦;與圓只有一個公共點的直線叫作圓的切線。

如圖1，⊙A 的半徑AB=1，B、D 在⊙A上，AC⊥BD，則在Rt△ACB 中，sin∠BAC=

，所以∠BAC 的正弦等于線段BC 的長度，由AC⊥BD 得BC=12BD，故“∠BAC 的正弦”可以理解為單位圓（半徑為1的圓）中，∠BAC 所正對著的半邊弦線的長度。

如圖2，⊙A 的半徑AC=1，直線BC 為⊙A 的切線，則在Rt△ACB 中，tanA=

，所以∠A 的正切等于線段BC 的長度，故∠A 的正切可以理解為單位圓（半徑為1的圓）中，∠A 所正對著的切線長度。

（作者單位：江蘇省泰州市大泗學校）