概率考查知多少

吳永

一、考查概率的意義一個事件發生的可能性大小的數值，稱為這個事件的概率。

例1 下列說法正確的是（ ）。

A“. 買中獎率為110 的獎券10 張，中獎”是必然事件

B.概率是1%的事件在一次試驗中一定不會發生

C.襄陽氣象局預報說“明天的降水概率為70%”，意味著襄陽明天一定下雨

D.拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，正面朝上的概率為0.5

【解析】中獎率110 表示中獎的可能性為110，因此買獎券10張不一定中獎，選項A不正確;概率為1% 的事件在一次試驗中也可能發生，只是發生的可能性很小，選項B不正確;“明天的降水概率為70%”表示明天下雨的可能性為70%，因此明天不一定下雨，選項C不正確;拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，所有可能出現的結果為：①兩次都是正面朝上，②兩次都是反面朝上，③第一次正面朝上，第二次反面朝上，④第一次反面朝上，第二次正面朝上，它們都是等可能的，因此拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，正面朝上的概率為24=0.5，選項D正確。故選D。

【點評】概率反映了事件發生的可能性的大小，試驗次數的多少不能決定事件一定發生，可能性大也不一定發生，可能性小也可能發生。

二、考查古典概型的概率一般地，如果一個試驗有n 個等可能的結果，當其中的m 個結果之一出現時，事件A發生，那么事件A 發生的概率P（A）=mn。

1. 一步概率一次試驗只需一步操作即可完成，直接利用等可能條件下的概率公式求解。

例2 （2020·山東濟寧）小明用大小和形狀都完全一樣的正方體按照一定規律排放了一組圖案（如圖1所示），每個圖案中他只在最下面的正方體上寫“心”字，寓意“不忘初心”。其中第（1）個圖案中有1 個正方體，第（2）個圖案中有3個正方體，第（3）個圖案中有6個正方體……按照此規律，從第（100）個圖案所需正方體中隨機抽取一個正方體，抽到帶“心”字正方體的概率是（ ）。

A. 1100 B. 120 C. 1101 D. 2101

【解析】觀察圖案可知，第（1）個圖案中正方體的個數為1，第（2）個圖案中正方體的個數為3=1+2，第（3）個圖案中正方體的個數為6=1+2+3…… 于是猜想，第（100）個圖案中正方體的個數為1+2+3+…+99+100=（1 + 100 ）× 1002 =5050，其中帶有“心”字的正方體個數為100，所以從第（100）個圖案中隨機抽取一個正方體，抽到帶“心”字正方體的概率為1005050= 2101。故選D。

2. 兩步概率一次試驗需要兩步操作完成，先利用列表法（或畫樹狀圖法）列出所有可能出現的結果，再利用等可能條件下的概率公式求解。

例3 （2020·江西）某校合唱團為了開展線上“百人合唱一首歌”的“云演出”活動，需招收新成員。小賢、小晴、小藝、小志四名同學報名參加了應聘活動，其中小賢、小藝來自七年級，小志、小晴來自八年級。現對這四名同學采取隨機抽取的方式進行線上面試。

（1）若隨機抽取一名同學，恰好抽到小藝同學的概率為;

（2）若隨機抽取兩名同學，請用列表法或畫樹狀圖法求兩名同學均來自八年級的概率。

【解析】（1）從4名同學中隨機抽取一名同學，共有4種可能出現的結果，并且它們都是等可能的，其中恰好抽到小藝同學有一種可能，所以恰好抽到小藝同學的概率為14。故填14。

（2）用表格列出所有可能出現的結果：

由表格可知，共有12 種可能出現的結果，并且它們都是等可能的。“兩名同學均來自八年級”記為事件A，它的發生有2種可能，所以事件A 發生的概率P（A）= 212=16。

3. 三步概率一次試驗需要三步操作完成，先利用畫樹狀圖法列出所有可能出現的結果，再利用等可能條件下的概率公式求解。

例4 （2020·江蘇鎮江）智慧的中國古代先民發明了抽象的符號來表達豐富的含義。例如：符號“ ”有剛毅的含義，符號“ ”有愉快的含義。符號中的“ ”表示“陰”，“ ”表示“陽”，類似這樣自上而下排成的三行符號還有其他的含義。所有這些三行符號中，每一行只有一個陰或一個陽，且出現陰、陽的可能性相同。

（1）所有這些三行符號共有種;

（2）若隨機畫一個這樣的三行符號，求“畫出含有一個陰和兩個陽的三行符號”的概率。

【解析】（1）用樹狀圖列出所有可能出現的結果：

所以所有這些三行符號共有8 種。故填8。

（2）由樹狀圖可知，共有8 種可能出現的結果，并且它們都是等可能的。“畫出含有一個陰和兩個陽的三行符號”記為事件A，它的發生有3 種可能，所以事件A 發生的概率P（A）=38。

【點評】求古典概型的概率，關鍵是確定一次試驗中所有可能出現的結果數以及其中某個事件發生可能出現的結果數。需要注意的是：第一步操作后是否放回，會影響第二步操作可能出現的結果數。如例3第（2）問中就隱含了抽取的第一名同學是“不放回”這個條件。

三、考查幾何概型的概率試驗等可能出現的結果是無限個，利用轉化的數學思想，通過“劃分”轉化為有限個結果，進而利用“幾何概型”中的等可能條件下的概率公式求解。

例5 （2020·山西）如圖2是一張矩形紙板，順次連接各邊中點得到菱形，再順次連接菱形各邊中點得到一個小矩形。將一個飛鏢隨機投擲到大矩形紙板上，則飛鏢落在陰影區域的概率是（ ）。

A.13

B.14

C.16

D.18

【解析】如圖3所示畫出分割線，設最小矩形的面積為S，則S 最大矩形=16S，S 陰影=4S，所以飛鏢落在陰影區域的概率為4S16S=14。故選B。

【點評】試驗等可能出現的結果數如果是無限個，較為常見的方案是轉化為圖形的面積或線段的長度等求解。

四、考查利用頻率估計概率

在一定條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事件發生的頻率會在某一個常數附近擺動。在實際生活中，人們常把試驗次數很大時，事件發生的頻率作為其概率的估計值。例6 （2020·江蘇揚州）大數據分析技術為打贏疫情防控阻擊戰發揮了重要作用。如圖4是小明同學的健康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機打印于邊長為2cm的正方形區域內。為了估計圖中黑色部分的總面積，在正方形區域內隨機擲點，經過大量重復試驗，發現點落入黑色部分的頻率穩定在0.6左右，據此可以估計黑色部分的總面積約為cm2。

【解析】∵經過大量重復試驗，發現點落入黑色部分的頻率穩定在0.6左右，

∴點落入黑色部分的概率為0.6。設黑色部分的面積為S。

∵邊長為2cm的正方形的面積為4cm2，

∴S4=0.6，解得S=2.4（cm2）。故填2.4。

【點評】同一試驗的概率求法往往不唯一，有時我們可以采用“算兩次”的數學方法來解決某些實際問題。需要注意的是：利用頻率估計概率，必須在同一條件下進行，并且試驗次數要足夠多。

（作者單位：江蘇省鹽城市鹽都區實驗初中）