高中數學教學中培養學生抽象能力的幾點思考

張建輝

摘 要：數學這門學科的特殊性決定了學生應具備學習數學的能力，才能學好高中數學。高中數學不能只靠記憶和多練習題的手段獲取高分，需要學生具備抽象能力，才能在學習數學的道路上越走越遠。進入高中后，學生普遍感覺到高中數學的難度比初中提高了很多，這就需要教育者在高中數學教學的過程中幫助學生培養學好數學必要的抽象能力，解決學生面對數學題時束手無策的窘境。文章融合實踐教學，從概念和公式、觀察和比較、類比和聯想幾方面入手，論述教育者在高中數學教學中培養學生抽象能力的途徑。

關鍵詞：高中數學;抽象能力;培養途徑

中圖分類號：G63? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2021）09-0045-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2021.09.022

數學知識的抽象性是由人們拋開對客觀對象的研究，轉而研究抽象的空間形式和數量關系決定的。抽象能力是從許多事物中舍棄個別非本質的屬性，抽象出共同的本質屬性的能力。抽象能力不是很容易就能培養的，需要正確的方法和日積月累的練習，教育者要做的是從日常的教學中潛移默化地培養學生的抽象能力，在實踐教學中不斷糾正自己的培養策略，使學生在擁有抽象能力的同時，引導學生有意識地運用抽象能力解決數學學習中的問題，提升自身的抽象能力。

一、從概念和公式的角度出發

教育者要在高中數學教學的過程中培養學生的能力，但具體的方法和途徑需要教育者根據經驗摸索出有效的方法，其中通用的途徑是從數學最基本的原理入手，教育者可從對數學基本概念和公式的掌握出發，探索更多的教學方式。

（一）從概念入手培養

數學課本中諸多概念的存在都有不可代替性，這些概念間存在著一定的聯系，學生若能充分理解這些概念蘊含的本質和它們之間的關聯，便能很容易地理解事物從具體到抽象的過程。教育者要做的就是轉化課本給出的概念，給學生講解這些概念蘊含的本質，讓學生能更深刻地理解并學會運用，讓學生在運用概念解題的過程中用自己的方式去抽象和概括這些概念的本質，促進學生抽象能力的發展。根據學生對學習內容的反應，探索更好的教學方法，讓學生更快地適應新的數學知識的學習，并善于運用到實踐中。

以真假命題為例：復雜冗長的概念包含著相同點與不同點，學生很難記憶，如果改成“兩個命題互為逆否命題，他們有相同的真假性”等，讓學生去記憶這種簡短并朗朗上口的幾句話，代替長篇大論且晦澀難懂的數學定義，會大大節省學生的時間成本。當然，這需要教育者運用自己的知識能力去簡化概念，最終達到幫助學生快速記憶概念的目的。

（二）從公式入手培養

相比概念，數學公式是更為抽象的存在，或用很多難讀的字母去代表一種關系，或是由幾個完全沒有關聯的字母組成各種理論聯系，學生通常對這些字母很難記憶，更別說熟練掌握了。但是這些公式又是解題的關鍵，需要教育者重點講解和拆分，花費更多的時間和精力用各種方法幫助學生記憶。最常用的方法是把未知的知識用我們已知的知識進行轉化，用學生熟悉的語言或者記憶模式分類記憶，不僅能使學生印象深刻，還能逐漸培養學生的抽象能力。

例如：部分學生對“三角函數”的學習感到吃力，這就需要教育者帶領學生學習這一概念和公式，根據學生能夠理解并接受的語言和表達方式總結概念和公式，方便學生記憶和熟練運用。如：sin（-α）=-sinα，tan（π-α）=-tanα。“奇變偶不變，符號看象限”便是根據誘導公式演變而來的，為的是讓學生能夠更快速地記憶，從而大大提高學生的學習效率。

二、從觀察和比較的角度出發

在經過對數學基本原理的學習之后，學生對數學學習方法的掌握也有了一定的積累。這時教育者還沿用之前的教學方式恐怕已無法滿足學生對數學學習的要求，需要教育者在學生掌握數學學習的基礎上創新方式，如從觀察和比較的角度出發。

（一）用觀察的方式入手培養

傳統的教學方式很難用簡單的語言把抽象的數學知識具象化，也很難用學生可以理解的語言表達復雜、煩瑣的數學概念和公式，以至于學生單憑簡單的語言很難理解教育者要表達的意思。為此，教育者可以適應時代發展的潮流，替換傳統的教學模式，利用新媒體教學的方式更具象地表達抽象的數學知識，幫助學生更好地理解并利用一些教學模型，更直觀地看到數學知識在現實生活中的應用，引導學生聯系自身的生活經驗發掘學習數學知識的新的理解方式，使得學生在平常的生活學習中留心觀察，學會轉化知識在生活中的實際應用，更好地提升自身的抽象能力。

以“立體幾何”的學習為例，教育者可以在新媒體上直接展現立方體的三維建模，使學生能夠全方位地看到立方體的各個點、線、面，或者用實體的教學模型讓學生可以看到實物。教育者在進行這種教學時還能讓有問題的學生自己進行操作，不僅可以加深學生對這部分知識的印象，還可以帶動課堂氛圍，提高學生學習的積極性，讓學生主動觀察和比較學習這部分知識遇到的問題，方便教育者選準某一個點重點講解，幫助學生加快對抽象能力的培養。

（二）用比較的方式入手培養

數學知識的學習離不開對各種概念、定理的比較，尤其學生在記憶各種概念時，往往把一種或者多種相似或有相同點的概念放在一起記憶，只需要記一個完整的概念，其他的則在這個概念的基礎上添加或刪減，更容易理解各種定理的不同之處。除此之外，教育者在平常的教學過程中，可以多引導學生對靜態和動態的知識點進行比較。教育者應隨著題型的變化調整自己對數學概念的運用，把這種變化當作示例與學生進行比較，使學生能更直觀地感受。

比如對菱形、平行四邊形、正方形和矩形的定義，學生只要記住四邊形的定義以及其他三種圖形的定義和四邊形的差異即可，不需要重復記憶四種圖形的定義，這種比較的方式在很大程度上減輕了學生的記憶負擔和學習壓力。

三、從類比和聯想的角度出發

經過前面兩個階段的學習，學生對數學知識的學習已經進入駕輕就熟的階段，教育者應該在合適的學習階段引導學生進入新的學習領域，才能讓學生不斷地保持對高中數學學習的新鮮感。這一部分就是從類比和聯想的角度出發，帶領學生進入新的高中數學學習的新高度。

（一）用類比的方式入手培養

數學知識是環環相扣的，這就說明數學知識存在著嚴整性。教育者一定要學會利用自己的知識儲備，發現數學知識之間的相關性和相似性，再引導學生根據已經學過的概念、公式、定理，跟已有的這些知識進行類比，發現他們的特點和不可替代性。尤其是在授課的過程中，教育者可根據一個題型給出幾種解題思路，引導學生開發新的解題方向，然后對這幾種解題步驟進行類比、驗證，得出結論，找出最簡單、最合適的解題過程。除此之外，教育者在進行理論知識灌輸時，可以集思廣益，根據多位教師的教學經驗，總結出一套行之有效的教學方法，尤其是對大部分學生經常出問題的知識點進行實驗教學，類比各種教學方法，看哪種是最有效的。

比如記憶平行四邊形的性質，學生只需記住它的定義，然后通過推理得到它的任意一條對角線都可以把這個平行四邊形分成兩個完全相同的全等三角形。由此，還可以得出一些結論：這兩個全等三角形的對角是相等的，它們的鄰角是互補的，它們的對角線是互相平分的，且這些結論都可以通過類比的方式推理出來。

（二）用聯想的方式入手培養

有經驗的教育者在進行教學工作時，會有意識地讓學生根據某一定理進行數學猜想，因為高中的數學學習很多時候是無法用言語來表達的，只能讓學生根據教師提供的思路去體會和猜測。當然，學生往往會聯想出很多新的結論，這些是書本中從未出現過的，這時就需要由教育者去引導他們進行系統的猜想，把猜想限制在合理的范圍內，并且和所學的知識相關，有利于對學生思維能力的培養。教育者也可以主動設置一些探索性的問題，讓學生給出自己思考的結果，教育者根據合理的理論依據一步步進行驗證，看看這些新的猜想是否能夠成立。還可以由多種不同的點切入提出問題，通過實驗給予驗證，這樣能夠讓學生自覺地思考多元的解題思路，開拓學生的空間思維能力，讓學生參與到驗證新猜想的整個過程，不僅能夠讓學生主動運用自己的想象能力和創造能力，還能讓他們在驗證自己猜想的過程中產生一種會學習的快感，更能有效促進對學生抽象能力的培養。

比如聯想到實數的有序性，我們很容易寫出乘積不等式（3x+2）（x-5）（x-2）（3x+2）這個等式的一個范圍內的解，其余范圍內的解就可以每隔一個區間很容易地向前寫出。由此可見，若是將每一個一次因式的x系數都當成正數時，采用實數的有序行來解分式不等式或者乘積都是簡單易操作的。在學習期望值和分布列時，教育者可以先引導學生想象自己曾經學過的統計、方差標準差等內容，讓學生想想由這些已有的知識能延伸出怎樣的新的知識點和方向。

教育者在教授新的學習內容時，也可以先根據學生已學過的知識分析方法，對新的知識進行分析，讓學生很快找回熟悉感并發覺兩種知識點間的不同點和相同點。

綜上所述，通過高中數學教學的方式去培養學生的抽象能力是一個長期而緩慢的過程，而學生抽象能力的發展是高中數學學習的重中之重。教育者在教學過程中要充分認識到這一點，利用自己的教學設計去強化對學生抽象能力的培養。教育者還要不斷從學生的學習進度和學習狀態中看到改變教學方式的契機并加以利用，幫助學生縮短培養抽象能力的期限，讓學生能夠更好地完成學業。

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