基于改進冪次趨近律的Buck變換器滑模控制方法研究

姜文東，王海濤，張森海，葛黃徐，周贊東

（1.國網浙江省電力有限公司，浙江 杭州310007；2.國網電力科學研究院武漢南瑞有限責任公司，湖北武漢430074；3.國網浙江省電力公司嘉興供電公司，浙江嘉興314033）

隨著人們生活水平和用電設備智能化的不斷提高，對電能質量要求相應水漲船高，尤其高精密儀器設備對電能質量的要求更加嚴格。發電機組無法給所有用電設備提供合適的電壓，此外，電能在輸、變電過程中易出現損耗或受到噪音等因素的干擾，電能質量得不到保證。Buck變換器作為開關電源的核心部件，在體積、重量、能耗等方面具有一定優勢，已廣泛應用于工業儀器設備、計算機以及航空航天等領域[1-4]。

當前，Buck變換器通常采用PID控制算法，但當系統受到外部擾動或者內部參數變化時，Buck變換器會出現動態響應速度慢、輸出波形諧波含量較高等缺點。滑模變結構控制算法對外部擾動以及內部參數變化具有極好的魯棒性，動態性能優異，適宜于工程實現[5]。但算法自身存在局限性，在切換頻率無法達到無限大前提下，系統會產生抖振。

為解決這一難題，文獻[6]提出趨近律控制方法來減小滑模運動中的抖振問題；文獻[7]針對傳統趨近律收斂速度慢、抖振較大等缺點，提出一種雙冪次趨近律控制方法，該方法克服了單冪次趨近律距離滑模面較近時，收斂速度放緩等缺點；文獻[8]針對指數趨近律超調量大等缺點，提出一種基于模糊控制的趨近律方法，通過模糊控制自適應調節指數趨近律參數，有效提高系統收斂速度，減小抖振；文獻[9]利用狀態空間平均法，建立Buck變換器工作狀態下的數學模型，通過建立基于多冪次趨近律的滑模控制器，實現對Buck變換器輸出電壓的精確控制。

本文在上述文獻基礎上，提出一種基于改進冪次趨近律的滑模控制方法，并將其應用于Buck變換器三階滑模控制器。該控制方法不僅增強了系統的動態性能，而且隨系統狀態變化有效降低抖振大小，最終收斂于平衡點。

1 Buck變換器數學模型

Buck變換器又稱直流降壓變換器，是DC/DC變換器的一種，拓撲結構如圖1所示。

圖1 Buck變換器拓撲結構Fig.1 Buck converter topology

圖1中，ui為輸入電壓，uo為輸出電壓，Vg為開關管，D為二極管，C為電容，L為電感，R為電路負載。通過調節開關管Vg通斷，實現控制輸出電壓uo的作用。具體來說，當開關管Vg閉合時，輸入電壓ui通過電感L給輸出端供電，此時，二極管由于受到反向電壓，處于關斷狀態。當開關管Vg關斷時，由于電感L續流作用，電流不會立即下降為零。此時，二極管承受正向電流導通，負載電流通過二極管放電，起到降低電壓uo大小的目的。

假設Buck變換器負載為線性負載，根據基爾霍夫定律，定義電感電流iL和輸出電壓uo為系統狀態變量，求得Buck變換器狀態空間方程為

式中：iL為電感電流；u為開關管Vg通斷，當u=1時，Vg閉合，當u=0時，Vg關斷。

2 改進冪次趨近律控制方法

2.1 趨近律的提出

目前常用的趨近律有以下4種，如表1所示[10]。

表1 四種趨近律比較Tab.1 Comparison of four reaching laws

表1中，s˙為滑模趨近律；s為滑模面；k，ε為趨近律參數；sgn為符號函數。4種趨近律各有優缺點：等速趨近律的設計方法簡單，趨近速度取決于參數ε。當參數ε較大時，系統狀態能從較快的速度趨近滑模面，但到達滑模面后的抖振較大；當參數ε較小時，系統狀態到達滑模面時間過長，且無論參數ε如何選擇，系統狀態均不能收斂于平衡點。相比于等速趨近律，指數趨近律具有更快的收斂速度，但系統狀態仍不能收斂于平衡點。

冪次趨近律能夠保證系統狀態收斂于平衡點。當系統狀態距離滑模面較遠時，收斂速度較快，但當系統狀態距離滑模面較近時，尤其 ||s＜1時，收斂速度極慢。變速趨近律同樣能夠保證系統狀態最終收斂于平衡點。不同之處在于，變速趨近律滑模區域呈扇形，隨系統狀態變化漸近收斂至平衡點。當參數ε較大時，收斂速度較快，到達滑模面后狀態x較大，導致系統抖振較大；當參數ε較小時，導致收斂速度緩慢，到達時間過長。

本文綜合冪次趨近律和變速趨近律的優點，提出一種改進冪次趨近律，其數學表達式為

式中：k1，k2為趨近律參數，k1，k2均大于零；x為系統狀態變量。

改進冪次趨近律由冪次項-k1||sαsgn(s)和變速項-k2||x sgn(s)/( ||x+1)組成。當系統狀態距離滑模面較遠時，冪次項起主要作用，且有：

變速項能夠提供足夠大的趨近速度。當系統狀態距離滑模面較近時，變速項起主要作用，隨系統狀態變量x自適應調節抖振大小。當系統狀態趨近平衡點時，有：

變速項在平衡點附近收斂于±k2x。此時，改進冪次趨近律變換為

綜上，這樣設計趨近律既吸收了冪次趨近律快速到達的優點，又采納了變速趨近律自適應調節滑模抖振的優勢，最終使系統狀態收斂于平衡點。

2.2 控制性能分析

定義Lyapunov函數：

對式（6）求導，并將式（2）代入，得：

由此可見，改進冪次趨近律滿足滑模到達條件。

本文設計的改進冪次趨近律承接冪次趨近律快速到達特性。假設滑模初始狀態s(0)＞0，此時改進冪次趨近律：

整理，并求積分，得：

求得：

從式（10）可以看出，系統能在有限時間內到達滑模面。

當系統受到有界外部擾動時，此時改進冪次趨近律數學表達式為

式中：d(t)為外部擾動且滿足 ||d(t)≤η，η＞0。

對式（6）求導，并將式（11）代入，得：

定義k′2=k2|x|/( |x|+1)，整理式（12），得：

由式（11），求得：

當滑模面收斂到平衡點附近時，變速趨近律趨于零，式（15）變換為

綜上，在采用改進冪次趨近律前提下，當系統受到有界外部擾動時，滑模面及其導數能收斂到式（14）、式（16）所示的領域內。

3 基于改進冪次趨近律的三階滑模控制器設計

3.1 控制器設計

根據式（1），得：

由于電感電流：

對式（17）求導，并將式（18）代入，求得：

對式（18）求導，可得：

根據式（19）、式（20），求得Buck變換器三階滑模控制器狀態空間方程為

其中 x=[ x1x2x3]T

定義線性滑模面

其中，滑模面參數c1，c2，c3均大于零。對式（22）求導，得：

將式（2）代入，求得滑模控制器控制作用u為

3.2 滑模面參數選擇

本文在三階滑模控制器基礎上設計滑模面，滑模面包含電感電流，參數選擇具有不確定性，故有必要進一步分析滑模面參數的取值問題。

根據李導數定義，求得：

根據式（25），如若滿足滑模運動條件，滑模面參數需滿足c2＞c3C條件。同樣，根據李導數定義，求得等效控制ueq為

從式（26）可以看出，當滑模面參數滿足c2=c1CR條件時，等效控制ueq不受輸出電壓變化率u˙o影響，此時等效控制ueq=uo/ui。

4 仿真與實驗驗證

4.1 仿真驗證

為驗證基于改進冪次趨近律的滑模控制器有效性，通過Matlab/Simulink仿真軟件，將改進冪次趨近律與指數趨近律分別應用于Buck變換器進行比較。Buck變換器參數為：ui=20V，L＝10 mH，C＝3.6 mF，R＝10Ω。改進冪次趨近律參數為：k1=20，k2=5，α=1.2。滑模面參數為：c1=30，c2=1，c3=10。圖2為基于兩種趨近律的Buck變換器輸出電壓uo比較，圖3為基于兩種趨近律的Buck變換器電感電流iL比較。

圖2 Buck變換器輸出電壓比較Fig.2 Buck converter output voltage comparison

圖3 Buck變換器電感電流比較Fig.3 Buck converter inductor current comparison

從圖2可以看出，基于指數趨近律的三階滑模控制器輸出電壓到達穩態所需時間過長，超調量較大，且到達穩態后不能收斂于平衡點，基于改進冪次趨近律的三階滑模控制器輸出電壓到達穩態所需時間較短，超調量相對較小，且到達穩態后隨系統狀態變化漸近收斂于平衡點。

從圖3可以看出，基于指數趨近律的二階滑模控制器電感電流超調量比三階滑模控制器大很多。基于指數趨近律的三階滑模控制器電感電流超調量較大，到達穩態后不能收斂于平衡點。基于改進冪次趨近律的滑模控制器電感電流超調量較小，可隨系統狀態變化漸近收斂于平衡點。圖3進一步表明，通過設計三階滑模控制器，能夠有效控制電感電流，降低電感電流超調量，有利于控制器設計。

4.2 實驗驗證

為驗證基于改進冪次趨近律的滑模控制器有效性，搭建實驗平臺將其與指數趨近律相比較。Buck變換器參數、改進冪次趨近律參數、滑模面參數與仿真保持一致。其中，Buck變換器輸入電壓由可編程電源Chroma 62050P提供，開關管采用TI公司的CSD16414Q5，二極管采用STPS20200CT，電感采用TDK公司的VLB12065HT-R36，輸出電容采用Murata公司的GRM32ER71H106MA12，負載采用可編程電子負載Agilent 6060B。電流檢測采用霍耳電流傳感器CHB-25NP。控制板采用DSP28335作為控制芯片。圖4為指數趨近律控制方法輸出電壓實驗波形，圖5為改進冪次趨近律控制方法輸出電壓實驗波形。其中，圖4c和圖5c為負載從10Ω突變為5Ω時，輸出電壓實驗波形。

圖4 指數趨近律控制方法輸出電壓實驗波形Fig.4 Output voltage experimental waveforms of exponential reaching law control method

圖5 改進冪次趨近律控制方法輸出電壓實驗波形Fig.5 Output voltage experimental waveforms of improved power reaching law control method

從實驗波形可以看出，與基于指數趨近律的滑模控制器輸出電壓相比較，基于改進冪次趨近律的滑模控制器輸出電壓超調量較小，到達穩態速度快，且到達穩態后電壓諧波含量較低。當負載突變時，輸出電壓超調量較小，回到穩態所需時間更短，抗干擾和帶載能力更強，進一步證明本文所提方法的優越性。

5 結論

本文針對Buck變換器三階滑模控制器，提出一種改進冪次趨近律滑模控制方法。該方法有效提高了系統動態性能，減小了輸出電壓超調量，降低了系統抖振。通過仿真和實驗驗證，證實了方法的有效性，對工程實踐具有一定借鑒意義。