延時可修系統的可靠性分析與計算

劉亞春,曹遠龍

(1.南華大學 數理學院,湖南 衡陽 421001;2.南華大學 機械工程學院,湖南 衡陽 421001)

computation

0 引 言

在研究系統的可靠性時，一般都假定系統發生故障后能夠立即開始維修[1-4]。然而，在生產實際中，修理人員可能已離崗、或正在從事其他工作，致使系統發生故障后需要等待一段時間才能開始維修，這種情況稱為修理延遲。目前，人們一般采取兩種方式分析或計算系統的可靠性。一種方式是:先確定系統的狀態變量，進行狀態分析,然后運用馬爾可夫過程理論，建立微分方程或狀態轉移方程，得出系統在任一時刻處于各狀態的概率，進而計算可靠性指標[2-6]；另一種方式則是利用全概率公式和分解技術，運用更新過程理論，使用積分法，直接計算系統的可靠性指標[7-9]。

系統正常工作的時間、延遲維修時間以及修理時間等隨機變量的分布規律決定了系統的可靠性。修理工“休假”只不過是造成延遲維修的原因。所謂“休假”是指“修理工已離崗休息或正在從事其他工作”。所謂“單重休假”，是指修理工每次只能休假一次，若系統在修理工休假期間發生故障，那么必須等到修理工休假結束才能開始維修；如果系統在修理工休假期間沒有發生故障，那么系統在下一次發生故障時便能馬上得到維修，系統修復后，修理工才能開始下一次“休假”。所謂“多重休假”，是指修理工在休假結束時，如果系統是正常的，則可以再次休假。一些文獻研究了“單重休假”和“多重休假”對系統可靠性的影響[3，6，8-9]；顯然，無論是單重休假還是多重休假，休假的時刻與系統的工作狀態具有相依性；休假模式過于理想化，不切實際；此外，系統或部件的失效時間、休假時間或維修時間不一定服從文獻中假定的指數分布等。特定的分布假設雖然為建模和求解提供了方便，但卻局限了理論研究的應用范圍。

1 可修系統的狀態分析與可靠性計算

任何時候，一個可修系統只有三種狀態：“正常工作”、“等待維修”或“正在維修”。記系統的正常工作時間、延遲修理時間和維修時間分別為ξ、η、ζ，其統計分布函數分別為F(t)、G(t)和H(t)，概率密度分別為f(t)、g(t)和h(t)，即F′(t)=f(t)、G′(t)=g(t)、H′(t)=h(t)。顯然，ξ、η、ζ相互獨立；假設初始時刻系統處于正常工作狀態，系統在發生故障后能夠被修復如新；ξk、ηk、ζk分別表示系統的第k個工作壽命、第k個延遲修理時間和第k個修理時間，顯然ξk、ηk、ζk分別與ξ、η、ζ同分布(k=1,2,3,…)，并構成一個更新過程。

1.1 可用度與穩態可用度的計算

設系統初始時刻為t=0；當t>0時，如果系統正常，則記S(t)=1；否則，記S(t)=0。系統的瞬時可用度A(t)=P{S(t)=1|S(0)=1},利用全概率公式，并注意到系統每次修復的時刻是再生點,得

A(t)=P{ξ1>t,S(t)=1|S(0)=1}+P{ξ1≤

t≤ξ1+η1+ζ1,S(t)=1|S(0)=1}+

P{ξ1+η1+ζ1

(1)

記拉普拉斯變換[10]:

(令t-x=y)

即

[f(t)*g(t)]=f*(s)·g*(s)

(2)

為運用方便，將式(2)寫為

(3)

類似于式(3)，遞推得

(4)

在式(1)兩邊取拉普拉斯變換，可得

(5)

從而

A(t)=-1[A*(s)]

(6)

此外

(7)

類似地，有

此外，易得

由式(5)至(12)，運用洛必達法則，得穩態可用度

(13)

顯然，公式(5)和(13)比文獻[9]中相應的公式(1)與(2)更加簡明，而又不局限于單重休假。

1.2 故障頻度與穩態故障頻度的計算

系統在(0,t]時間內出現故障的次數記為n(t)，平均故障次數E[n(t)]記為m(t)，則

E[n(t)]=E[n(t)|ξ>t]·P{ξ>t}+

E[n(t)|ξ≤t]·P{ξ≤t}=0+

E[n(t)|ξ≤t<ξ+η+ζ]·

P{ξ≤t<ξ+η+ζ}+E[n(t)|·

ξ+η+ζ≤t]·P{ξ+η+ζ≤t}=

E[n(t-u)]]dP{ξ+η+ζ≤u}=

P{ξ≤t}·P{ξ+η+ζ>t}+

ζ≤u}

(14)

其中P{ξ≤t}=F(t)

P{ξ+η+ζ>t}=1-P{ξ+η+ζ≤t}=

f(t)*[g(t)*H(t)]

(15)

η+ζ≤u}=f(t)*g(t)*H(t)+

E[n(t)]*[f(t)*g(t)*H(t)]′

(16)

將式(15)和式(16)代入式(14)，得

m(t)=F(t)·[1-f(t)*g(t)*H(t)]+

f(t)*g(t)*H(t)+m(t)*[f(t)*

g(t)*H(t)]′=F(t)+[1-F(t)]·[f(t)*g(t)*H(t)]+m(t)*

[f(t)*g(t)*H(t)]′

(17)

在式(17)兩邊取拉普拉斯變換，得

從而

m(t)=-1[m*(s)]

(18)

穩態故障頻度

2 結論及其驗證

本文基于系統正常工作時間、延遲維修時間以及修理時間的一般分布函數或概率密度，運用更新過程理論、全概率分解技術和拉普拉斯變換，得到了延時可維修系統的瞬時可用度和穩態可用度等的計算公式，避免了微分方程建模與求解的復雜過程。結論具有一般性，應用范圍得到推廣。