基于差分原理的噴錨支護水工隧洞穩定可靠度分析

方苗苗，李夢瑤，王 剛，崔鵬飛

(大連理工大學水利工程學院，遼寧 大連 116024)

0 引 言

目前，我國水工隧洞的建設水平不斷取得突破，建設規模向大埋深、長距離、大斷面趨勢發展，如錦屏二級水電站引水隧洞埋深達2 525 m，開挖洞徑達14.6 m[1]。隨著隧洞建設規模的增大，其穩定安全問題也愈發突出，其中隧洞圍巖與支護的整體穩定問題是隧洞設計關注的重點。在水工隧洞的建設中，采用噴錨支護和先噴錨后二次襯砌的水工隧洞較為常見，如蒲石河抽水蓄能電站地下廠房洞室用噴錨支護做永久支護[2]，九甸峽水利樞紐工程引水發電洞用噴錨支護做一次支護[3]等。隧洞噴錨支護后(或二次襯砌前)圍巖與噴錨支護的整體失穩時有發生，常造成圍巖變形坍塌和二次襯砌破壞等事故[4]。因此，研究噴錨支護水工隧洞圍巖與噴錨支護聯合承載時的穩定可靠性意義重大，亟待采用可靠度方法研究解決。

當前，結構可靠度計算的常用算法有蒙特卡洛法和二階矩法(即驗算點法，如一次二階矩法、二次二階矩法等)。蒙特卡洛(MC)法包括直接抽樣、重要抽樣等算法。其中MC直接抽樣法(MC-DS)對大型復雜結構系統的可靠度計算適用性強，保證抽樣次數的條件下，計算結果相對精確，一般作為其他算法的校準算法；由于MC-DS計算量大、效率低，通常需要進行算法改進，如改變其抽樣中心的MC重要抽樣法(MC-IS)，此改進方法先通過一次二階矩法求出驗算點，然后以驗算點為抽樣中心進行下一步抽樣計算，從而提高計算效率。而一次二階矩法(FOSM)、二次二階矩法(SORM)等需求解驗算點的可靠度算法通常需要功能函數為顯式，然后將功能函數在驗算點處泰勒展開，并近似取至一次項或二次項，以便求得功能函數近似的一階或二階偏導數，因此二階矩法計算精度一般低于MC法，但效率較高。

本文以圓形斷面水工隧洞為例，對噴錨支護隧洞進行圍巖與支護結構穩定可靠度計算方法研究。首先，基于巖體理想彈塑性本構模型推導出隧洞可靠度計算所需的功能函數，由于此功能函數是非線性隱式的，傳統FOSM和SORM方法難以直接運用，本文將采用差分理論予以解決；然后，結合水工隧洞工程實例，分別采用基于差分原理的FOSM、SORM和MC-DS、MC-IS進行隧洞圍巖與噴錨支護結構的穩定可靠度計算，并進行不同方法的對比分析。本文研究成果可為水工噴錨支護隧洞的安全可靠性分析和評價提供理論和方法參考。

1 噴錨支護隧洞可靠度計算功能函數

1.1 最小圍巖壓力

在軸對稱條件(λ=1，λ為側壓力系數)下估算最小圍巖壓力Pa，min，條件是維持松動區滑移體平衡所需的支護阻力等于保持極限平衡狀態的力。根據剪切滑移理論[5]，可得

Pa,min=γRmax-γr0

(1)

式中，Pa，min為最小圍巖壓力；Rmax為與Pa，min相對應的最大的松動區半徑；γ為圍巖的容重；r0為開挖半徑。

根據隧洞圍巖應力和位移的彈塑性分析[6]，松動區最大半徑Rmax為

(2)

式中，c、φ分別為錨固后的圍巖黏聚力、內摩擦角。

錨固后的圍巖黏聚力、內摩擦角c、φ分別為

(3)

式中，τa、As、Sa、Sb分別為錨桿的抗剪強度、橫斷面積及橫、縱間距；σz為圍巖的初始應力(側壓力系數λ=1)；c0、φ0分別為圍巖黏聚力、內摩擦角。

將式(2)代入式(1)可求得最小圍巖壓力Pa，min，即

(4)

1.2 噴射混凝土支護阻力

對噴射混凝土提供的支護阻力作簡化考慮[7]，即

(5)

Pa=-ccotφ+(1-sinφ)(ccotφ+σz)

(6)

(7)

當厚度ds>0.04r0時，根據厚壁圓筒理論，支護阻力與結構剛度的關系為

(8)

1.3 錨桿支護阻力

采用常用的點錨式錨桿，按照錨桿與圍巖共同變形理論，得錨桿支護阻力Pi為[7]

(9)

(10)

聯立式(9)和(10)，可最終求得錨桿支護阻力Pi。

1.4 隧洞圍巖噴錨支護結構功能函數

當圍巖所需最小支護阻力與噴錨支護所提供的支護力間達到平衡時[8]，即當等于Pa與Pi之和時，為結構的極限平衡狀態，由此可建立可靠性分析所需功能函數

g(X)=Pa+Pi-Pa,min

(11)

綜合觀察式(1)～(11)中的Pa、Pi、Pa，min可以看出，功能函數g(X)是關于c和φ的隱式非線性函數，不能直接采用常規二階矩法進行可靠度計算。

2 基于差分原理的可靠度研究方法

2.1 功能函數偏導數的計算

FOSM與SORM在計算各隨機變量X=(X1，X2，…，Xn)的偏導數時，需要顯式的功能函數Z=g(X)，而在實際工程中若遇到功能函數是隱式的情況，可根據差分原理[9]求得驗算點X0處功能函數對各變量的偏導數為

(12)

(13)

(14)

式中，α為步長系數，為使偏導數計算有更高的精度，α取值應盡量小。

2.2 基于差分原理的一次二階矩法和二次二階矩法

在FOSM的計算過程中，利用式(12)求出功能函數在驗算點處的一階偏導數；在SORM的計算過程中，先需要用FOSM求出驗算點，再利用式(13)和式(14)計算在驗算點處的二階偏導數。

2.3 蒙特卡洛重要抽樣法

(15)

若X1與X2具有相關性，用式(16)計算X1與X2的聯合概率密度函數

(16)

3 工程實例

某隧洞斷面形式為圓形，開挖半徑5.4 m，隧洞埋深在200 m左右。穿越地段圍巖分類為III類。采用新奧法設計施工，初期支護為噴錨支護方式，如圖1所示。

圖1 隧洞噴錨支護示意(單位：mm)

表1 各隨機變量統計特征

3.1 差分計算步長系數的確定

采用MC-DS計算100萬次得到的可靠指標β為3.229 1，失效概率pf為6.21×10-4，根據GB 50199—2013《水利水電工程結構可靠度設計統一標準》[10]可知該水工隧洞圍巖是穩定的。基于差分原理計算可靠度時，步長系數的取值影響可靠度的精度，故計算不同步長系數下的可靠度，結果如表2所示，從而確定合適的步長系數取值。

表2 不同步長系數下可靠度的計算結果

由表2可知，當步長系數α<0.02時，用FOSM和SORM計算的可靠指標β趨于穩定。當α=0.01時，迭代次數為8次，比MC法效率高，此時FOSM和SORM計算結果的相對誤差分別為0.24%和0.10%。SORM比FOSM的精度高，與MC法計算精度相當，這是由于FOSM沒有考慮功能函數在設計驗算點附近的局部性質，而SORM通過計算功能函數的二階導數考慮了極限狀態曲面在驗算點附近的凹向、曲率等非線性性質，提高了精度。

MC-IS的計算結果與步長系數α基本無關，為便于計算效率對比分析，取α=0.01進行MC-IS計算，抽樣10萬次的可靠指標β為3.232 9，相對誤差為0.12%，精度高，大大提高了抽樣效率，這是由于MC-IS是以FOSM求出的驗算點為抽樣中心，使樣本點有較多機會落進失效域，增加功能函數Z<0 的機會。

3.2 考慮隨機變量統計特征的隧洞可靠度分析

在水工隧洞圍巖穩定分析中，黏聚力c和內摩擦角φ的分布類型不確定，一般為正態分布或對數正態分布。本文對c和φ分別為正態分布和對數正態分布時的可靠度進行計算，結果如表3所示。由表3可知，c為對數正態分布時，可靠指標變化不大，φ分布類型對可靠指標的影響較大，而φ為對數正態分布時，可靠指標變小，故針對c、φ均為正態的情況進行研究。

表3 不同分布類型下可靠度的計算結果

實際上，c，φ一般具有負相關性，對c、φ相關系數不同時的可靠度進行計算，結果如表4所示。由表4可知，β隨c和φ的負相關性的增大而增大，這與已有研究的結論是一致的。

表4 隨機變量相關時可靠度的計算結果

4 結 論

本文提出了基于差分原理的一次二階矩(FOSM)和二次二階矩(SORM)可靠度算法，并對噴錨支護圓形隧洞圍巖與支護系統穩定可靠度進行計算分析，得到如下研究結論：

(1)基于差分原理的FOSM和SORM驗算點法能很好地處理功能函數是非線性隱式的情況。

(2)結合工程實例對差分步長進行了研究，得到了不同步長系數下噴錨支護隧洞穩定可靠度的計算結果，基于差分原理的FOSM和SORM法在步長小于0.02的情況下可靠度計算結果趨于穩定。

(3)通過與蒙特卡洛直接抽樣法(MC-DS)和重要抽樣法(MC-IS)對比分析可知，基于差分原理的FOSM和SORM法計算結果精確且高效，能夠滿足實際工程計算要求。

(4)工程實例可靠度研究表明，圍巖抗剪強度參數c和φ的分布類型不同，得到的可靠指標也不同，c分布類型變化對可靠指標影響不大，而φ分布類型為對數正態分布時，可靠指標較正態分布時小，c、φ的負相關性對隧洞圍巖穩定可靠指標影響顯著，隨著負相關性的增強而增大，這與已有研究的結論一致，表明本文方法具有很好的適用性。