漫談函數的發展

張海燕 摘編

函數概念是中學數學的核心概念。同學們對這一概念的學習和理解將貫穿整個中學數學學習的始終。

函數是從常量數學邁進變量數學的標志。16世紀以前，數學研究的多為靜止不動的常量，稱為常量數學或者初等數學。變量和函數概念的產生，標志著數學從常量時代進入到變量時代。函數是數學中最重要的概念之一，有著無比重要的地位，在高等數學和近代數學中處于中心地位。

函數一詞是由萊布尼茲1673年最早引入的，用來表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量。伯努利把函數看作一個變量和一個常數組成的表達式。歐拉把函數看作含有變量和常數的任何方程和公式。

1821年，柯西給出定義：在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著確定時，則將最初的變數叫作自變量，其他各變數叫作函數。在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞。

1834年，俄國數學家羅巴切夫斯基提出函數的定義：x的函數是這樣的一個數，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x-起變化。函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出。這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法。函數的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的。這個定義建立了變量與函數之間的對應關系，是函數概念的一個重大發展。因為對應是函數概念的一種本質屬性與核心部分。

1837年，德國數學家狄利克雷給出函數的定義：如果對于x的每一個值y，總有完全確定的值與之對應，則y是x的函數。這個概念就是我們初中階段學習的函數概念，是經典的函數定義，也叫作函數的“變量說”。

到20世紀初，康托爾的集合論被大家所接受后，函數概念中變量只能為數的限制取消了，突出了函數的本質特征。對應關系用集合論的語言敘述，這種定義方式叫作函數的“對應說”。1939年，布爾巴基學派又給出了函數的“關系說”。

總之，函數概念的靈魂是運動，是變量，是變量關系。（作者單位：江蘇省海安市李堡鎮初級中學）