圖形解構(gòu)“定”坐標(biāo)

朱鳴

平面直角坐標(biāo)系可以刻畫(huà)物體的位置，它建立了數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系，也是中考必考內(nèi)容之一。下面以一道中考改編題為例，通過(guò)解構(gòu)基本圖形的方式來(lái)進(jìn)行分析、變式，希望能為大家?guī)?lái)一些借鑒和思考。

例1 （2020.黑龍江綏化改編）如圖1，在矩形OABC中，AB=2，BC=4，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，直線y2=mx+n（m≠0）經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)。

（1）求直線DE的解析式;

（2）在y軸上找一點(diǎn)P，使△PDE的周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）在（2）的條件下，△PDE的周長(zhǎng)最小值是_____。

【解析】（1）∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AB=2，BC=4，四邊形OABC是矩形.

【小結(jié)】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于常見(jiàn)的確定直線的問(wèn)題，可以將其圖形簡(jiǎn)化為圖1，一般解決的策略是先確定交點(diǎn)坐標(biāo)，然后借助二元一次方程組。在本例中，D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問(wèn)題的鑰匙。

（2）如圖2，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，連接D'E交y軸于JP，連接PD，此時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最小。

【總結(jié)】第二題是一個(gè)“兩定一動(dòng)”、確定動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題，可將圖像簡(jiǎn)化為圖2的情形。我們也可以把它稱為“將軍飲馬”模型，利用“垂直平分線”的性質(zhì)來(lái)解決。過(guò)D點(diǎn)，向y軸作高，找到對(duì)稱點(diǎn)D'，連接D'E，該直線與y軸的交點(diǎn)就是要求的P點(diǎn)。隨著點(diǎn)P的確定，△PDE的周長(zhǎng)最小值也能輕松求出。

變式在上述條件下，請(qǐng)?jiān)趚軸上找一點(diǎn)P，使得分別以A、C、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形。

【解析】（情況1）如圖3，以點(diǎn)A為等腰三角形頂點(diǎn)，使AP=AC，易知P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）。

（情況2）如圖4，以點(diǎn)P為等腰三角形頂點(diǎn)，使PA=PC，可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，0），利用勾股定理，將問(wèn)題放在△AOP中解決，得P點(diǎn)坐標(biāo)為（一3，0）。

（情況3）如圖5、6，以點(diǎn)C為等腰三角形頂點(diǎn)，使CA=CP，易得P（2-2√5，0）或P（2+2√5，0）。

【總結(jié)】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于等腰三角形的存在性問(wèn)題，通常需要分類(lèi)討論——確定3個(gè)頂點(diǎn)后，要不重復(fù)、不遺漏地將多種情況分別表示出來(lái)。

（作者單位：江蘇省太倉(cāng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）