教材中一道課后習題的“開枝散葉”

許紅沙

摘 要：筆者對北師版九年級上冊《正方形的性質與判定》兩道課后習題進行分析、變式和總結歸納，旨在教學工作中培養自己鉆研教材、潛心分析的能力，以提升教學專業能力。

關鍵詞：教材;北師大版;初中數學;課后習題;變式

數學教科書是數學教師進行教學的重要載體，是師生之間的紐帶，教師對教科書的使用水平直接影響著教師教學的質量和學生學習的效果。[1]

一、兩道教材母題

【母題1】（第22頁第4題）在一個正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇分成大小、形狀完全相同的四部分（不考慮道路的寬度）.你有幾種方法？（至少三種）

在已有知識基礎上，學生能夠想到由正方形兩條對角線或者正方形對邊的中垂線可以達成題目要求。如下圖：

題中要求至少給出三種方法，教師要引導學生找出第三種或更多方法。結合上述兩種方法，教師可以啟發學生找共同點——兩條線都過正方形中心且互相垂直，那么任意兩條交于正方形中心、互相垂直的直線能否把正方形分成大小、面積相等的四部分？可以讓學生嘗試進行推理、驗證，充分發揮教師主導作用、學生主體作用。本題有助于學生更好地認識正方形對的對稱性。

去掉“兩條直的小路”條件，分割方法還可一般化：過對稱中心與正方形邊上一點的任意一條線，繞對稱中心按同一方向連續旋轉三次，每次旋轉90°，這四條線將正方形分成大小、形狀完全相同的四部分。

【母題2】（第41頁第4題）如圖，正方形ABCD對角線交于點O，正方形A`B`C`O與正方形ABCD邊長相等。在正方形A`B`C`O繞點O旋轉過程中，兩個正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有何關系？

在課堂上要給足學生證明這一猜想的時間。結合學生的思維特點，進行相應的引導。

正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，它的中心在內角的角平分線上，在中心處也有直角的形成（∠AOB=∠BOC =∠COD=∠AOD=90°）。方法一：點O在∠ABC的平分線上，自然聯想到角平分線上的點到角兩邊的距離相等：

方法二：

兩題在方法上是共通的。教師在循循善誘、步步深入解決母題1的前提下，母題2的解決就易如反掌;在授課時，也可以先解決母題2的問題，然后弱化條件，提煉本質，帶著母題2的啟發再去解決母題1的問題。

兩題考查的是正方形的性質與判定。母題1放在課后練習中的“問題解決”部分，既是回歸生活實際的體現，對學生問題解決能力要求也比較高，母題2放在課后練習中的“聯系拓廣”，有一定的難度。

兩題解決過程滲透了邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養。

二、母題變式

1.變條件

將“正方形A`B`C`O與正方形ABCD的邊長相等”改成

①“等腰直角三角形A`C`O”

②“直角三角形A`C`O”

③“矩形A`B`C`O與矩形ABCD的長寬分別相等”

④“菱形A`B`C`O與菱形ABCD的邊長相等”

以上結論是否變化？

一步步弱化條件、探究結論是否變化的過程中，更容易清楚問題的本質。無論是變式①還是變式②，母題2中的全等依然成立，仍可將陰影部分的面積轉化為原正方形面積的四分之一。但是變式③和④（題中矩形或菱形非正方形），則顯然不成立。也就發現，問題解決的關鍵是全等，實現面積轉化。

三、變化中的“關鍵”

在母題和變式中，求面積關系、線段關系，又或者是涉及特殊位置、最值問題，可以發現解決問題的關鍵在于實現量的轉化。而量的轉化依托的是三角形的全等。所以解決此類問題的關鍵就是找全等、轉化關系。即變式時，減弱條件、結論成立的前提是全等的成立。

參考文獻：

[1]呂雅雅. 初中數學教師教科書使用水平現狀及提高策略研究[D].西北師范大學，2020.