烏魯瓦提大壩監測數據去噪統計模型研究

毛建剛，文 俊，朱明遠

(1.新疆水利水電科學研究院，烏魯木齊 830049；2.新疆農業大學水利與土木工程學院，烏魯木齊 830052)

0 前 言

大壩安全監測數據是判斷大壩安全、掌握大壩運行規律的依據。通過監測數據構建大壩安全預測模型，對實際工程運行監管有著重要的指導意義[1]。近年來，統計回歸、遺傳算法、神經網絡、時間序列[2]、統計回歸分析、小波分析[3]和卡爾曼濾波[4]等技術方法廣泛應用于大壩變形監測分析的工程實踐中。但是單一模型很難解決實際工程問題，多種方法結合可提高大壩監測數據分析的精度和可靠性。

高斯白噪聲是數據序列中功率譜密度在整個頻域內均勻分布的噪聲，監測數據采集過程中受多因素的影響，導致采集的數據序列中摻雜多種噪聲，常用的數字信號噪聲處理技術有小波分析、卡爾曼濾波、時間序列、經驗模式分解(LMD)等。傳統回歸模型僅考慮過程噪聲，缺乏高斯白噪聲的考慮，這降低了回歸模型的精度，直接影響分析結果的可靠性，小波分析被譽為“數學顯微鏡”，它通過對時間序列的多時間尺度分析，能夠有效識別、提取數據序列的主要頻率成分以及局部信息，但這一過程也容易導致數據失真[5]。卡爾曼濾波是去除噪聲還原真實數據的一種數據處理技術，是在最小均方差原理下對數據序列進行最優估計的一種數據處理技術[6]。因此用小波去噪和卡爾曼濾波進行結合，將去噪后的數據導出后做統計回歸分析，提高預測的精度和可靠性。

隨著壩工理論的發展，單一方法和途徑不再適合于復雜的監測數據分析中，而多種理論和方法的有機結合將更有利于提高數據分析的精度和掌握大壩變形規律[7]。本文針對烏魯瓦提大壩自動化升級改造后監測數據受噪聲污染情況復雜、采用傳統統計模型分析的結果不能滿足實際需要等問題，利用原型觀測資料，以小波分析和卡爾曼濾波濾除原始含噪信號中的高斯白噪聲和粗差，結合前人經驗選取影響因子建立統計回歸模型，以此提高監測數據分析處理的精確度和可靠性。

1 工程概況

1.1 基本概況

烏魯瓦提水利樞紐工程位于新疆和田地區喀拉喀什河中游段，是喀拉喀什河的控制性工程，壩址距和田市71 km，水庫總庫容3.47億m3。其中，主壩最大壩高133.0 m，壩頂高程1 965.80 m，壩頂長365.0 m，壩頂寬8.9 m，具有灌溉、發電、生態、防洪等綜合效益。工程建成投運后，徹底解決了和田地區的近13.33 hm2(200萬畝)的農業灌溉用水問題，提高了下游河道的防洪能力，減輕了洪水災害,工程經濟效益、社會效益、環境效益十分顯著。

1.2 數據選取

烏魯瓦提大壩安全監測數據采集系統是基于Windows NT網絡環境下，采用南瑞DAMS-IV型智能分布式數據采集系統進行數據采集，直接使用去除采粗差后的采集數據進行計算分析，結果精確度較低。因此本文選取河床最大斷面0+190.00 m斷面(如圖1所示)H2-2和H2-3兩測點共235組水平位移監測數據(后10期數據驗證)為樣本，甄選出精度較高的去噪模型并建立統計預測模型，以還原真實數據，降低誤差，提高數據分析的精度。

2 監測數據的去噪處理

2.1 小波分析

小波分析是一種良好的時頻分析工具，它通過準確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲、精確重構原始信號，最終實現恢復真實數據信號的目的。對于任意函數或者信號f(x)，其小波變換為[8]：

式中：Wf(a,b)為小波系數;a反映函數的尺度;b是沿時間軸或位置軸平移的位置。

為了應用方便，通常將連續小波及其變換離散化，此時可表示為：

圖1 0+190.00 m斷面水平位移測點布置 單位：m

小波變換表示為離散小波變換：

小波去噪通常是將大壩的原始監測數據看作是一串信號，由有用信號和噪聲共同組成[9]，通常表達為：

f(t)=s(t)+n(t)

(4)

式中:f(t)為原始信號，s(t)是有用信號，n(t)是噪聲且符合N(0，σ2)。

實際應用中，小波變換具有帶通濾波的功能，可以將信號劃分為不同的頻帶，這里若設原始信號的頻率為f，在尺度參數 j = 1，2，…，J下，應用小波分解，其對應的頻帶數為2J，相應的頻率范圍為2-J(i-1)f～2-Jif,其中i = 1，2，…，2J，表示分解信號的頻帶序列，分解后可以看出從低頻到高頻的信號信息，各頻帶互不重疊。

根據前人研究成果和經驗[10]，選用dbN小波時，最優分解尺度N選取越大，被濾掉的噪聲越多，越有利于噪聲分離，但是在重構時信號失真也越大，所以必須選擇一個合適的分解尺度。實測數據一般信噪比不能預知，文鴻雁[3]提出逐漸增大尺度，根據均方根誤差值的變化是否趨于穩定來確定最大尺度，一般情況下，當r接近于1時，噪聲基本去除。本文選取db4小波對原始數據進行1～4層分解得到均方根誤差RMSE和r值,具體見表1。因此選取db4小波對原始數據進行1層分解。

表1 不同尺度下均方根誤差

具體分解步驟如下：

(1)監測數據的小波分解。應用Matlab小波工具箱wavede函數，對信號進行分解，調用格式如下：

[c,l]=wavedec(x,N,'wname',)

(5)

式中：c表示各層分量，包括近似系數和細節系數，l表示各層分量長度，x表示原始信號，N分解的層數，wname小波基名稱。

(2)小波閾值量化。對第1層到第N層的每一層高頻系數，選擇一個閾值進行量化處理。

(3)重構。重構則是分解的逆過程，對低頻系數、高頻系數分別重構處理。

H2-2(a)、H2-3(b)測點原始信號、分解后低頻信號和高頻信號對比圖分解結果如圖2。

圖2 兩測點原始信號、分解后低頻信號和高頻信號對比

由圖2分解的信號可以得出，兩測點信號服從高斯分布，功率譜密度均勻分布，是含高斯白噪聲的監測序列。小波分解與重構去噪法能夠對噪聲進行去除，提取出信號的高頻和低頻部分，但是由于它在分解的過程中只對低頻信號再分解，對高頻信號不再實施分解，使得它的頻率分辨率隨頻率升高而降低，丟失部分有用信息。該方法雖然能去除噪聲，但對于有用信號和噪聲的頻帶相互重疊的情況，效果就不甚理想。

2.2 卡爾曼濾波

小波去噪適用于處理已知噪聲的頻率范圍且信號和噪聲的頻帶相互分離時的數據序列，但實際監測數據中廣泛存在高斯白噪聲，其效果并不理想。卡爾曼濾波是去除噪聲還原真實數據的一種數據處理技術，能夠從一系列存在噪聲的數據中進行數值最優估計。因此在小波去噪后導出數據并銜接卡爾曼濾波原理，借助Matlab平臺編輯濾波程序，進行小波-卡爾曼濾處理，濾除數據序列中存在的高斯白噪聲，以期獲得較高的去噪效果[11]。多數情況下，主要運用的是離散卡爾曼濾波，其數學模型[12]：

Xk=Fk/k-1Xk-1+Gk-1Wk-1

(6)

Lk=HkXk+Vk

(7)

上式為卡爾曼濾波的函數模型，由最小二乘原理，可推導出卡爾曼濾波的遞推公式：

狀態向量的一步預測：

狀態向量一步預測值方差矩陣：

狀態向量估計值：

狀態向量估計方差矩陣：

Pk=(1-JkHk)Pk/k-1

(11)

其中，Jk為濾波增益矩陣，具體形式為：

式中:J是濾波增益矩陣;Hk為觀測矩陣;Xk為系統在tk時刻的狀態n×1維向量;Fk/k-1為狀態轉移矩陣;Lk為觀測值向量。

經過小波去噪后可以看出2個測點含有高斯白噪聲，為了驗證單一模型和組合模型對含高斯白噪聲信號處理的精度，擬采用2種方案進行濾波處理，方案如下：

(1) 方案1用原始數據直接卡爾曼濾波處理;

(2) 方案2用小波去噪后的數據結合卡爾曼濾波處理。

濾波效果如圖3。

圖3 兩測點2種濾波方案對比

圖3濾波效果表示，經過小波預處理后再結合卡爾曼濾波對監測信號高斯白噪聲的處理效果更好，信號更加光滑且不失真。

2.3 精度評定

為了更加科學地驗證2種去噪方案的精度，對兩測點水平位移監測數據進行濾波后模型精度評定。模型精度評定公式如下[13]:

(1) 均方誤差(MSE)

(2) 平方和誤差(SSE)

(3) 平均相對誤差(MRE)

表2兩個測點的濾波方案中，方案2的均方誤差(MSE)、平方和誤差(SSE)和平均相對誤差(MRE)均較方案1小，表明當監測信號含有高斯白噪聲時小波分析與卡爾曼濾波組合模型明顯優于單一的去噪方法，去噪精度更高。

表2 精度評定

3 統計回歸模型的建立

3.1 回歸分析

統計回歸分析在相關變量中將一個變量視為因變量，其他一個或多個變量視為自變量，建立線性或非線性數學模型的一種統計分析方法。這里設因變量為Y，影響因變量的n個自變量分別為x1,x2,…xn，假設n個自變量里面每一個自變量對因變量Y的影響都是線性的變化，得數學表達式為[14-15]：

Y=β0+β1x1+β2x2+…+βnxn+ε

(16)

式中:Y是因變量;β0,β1,…,βn為回歸參數;ε為隨機變量或誤差;εi～N(0,σ2)，i=1，2，...，n。

3.2 因子選取

大壩位移影響因子中最優影響因子的選取是構建大壩安全統計回歸模型的關鍵。模型越復雜、包含參數越多，擬合和預測數據的功能越強[16]。烏魯瓦提大壩位移變形影響因素包括壩型、壩基、填筑材料、揚壓力、時效、水位變化及溫度變化等。面板堆石壩的填筑堆石料內部變形受到外界溫度變化的影響，變形和力學特性會發生改變，溫度循環造成堆石料一定程度上的損傷，導致其顆粒強度降低，位移量增大[17]。諸多因素中有些難以量化，本文根據已有的面板堆石壩安全監測研究成果，選取水位、溫度、時效等作為影響大壩位移變形的因子，表達為:

y(t)=yH(t)+yT(t)+yθ(t)

(17)

式中:y(t)為監測效應量y在時刻t的統計估計值; yH(t)、yT(t)、yθ(t)分別為y(t)的水壓分量、溫度分量和時效分量。

3.3 模型的建立

本文選取上下游水位差H的1、2、3次方為水壓因子(H1、H2、H3)。在溫度因子選擇上，引起堆石壩內部溫度場變化的主要原因是氣溫和水溫，而水溫的變化也是由壩址的氣溫變化引起的，只是在時間上有滯后，因此溫度分量選取可用變形監測日的平均氣溫來作為周期因子，i取當天或前3、7、15、30、45、60d的平均值[18-19]；時效因子選取觀測當天至觀測起測日的累計天數除以100(θ=t/100)的θ和lnθ值，綜上模型可表達為：

[b1i(siniwt-siniwt0)+(cosiwt-cosiwt0)]

式中:α0，αi，bi，ci為回歸系數，w=2π/365;H為上下游水位差;Ti為觀測當天溫度及前i天的平均溫度;t從某天起算的時間;c1θ是時效分量隨時間呈線性變化;c1lnθ是時效分量隨時間呈非線性變化;m為多項式階數。

根據上述分析，擬采用2種方案建立統計回歸模型，方案如下：

(1) 方案1為用原始數據直接建立的統計模型；

(2) 方案2為用小波-卡爾曼濾波后數據建立的統計模型。

借助SPSS軟件平臺，運用多元回歸分析得出兩種方案模型的匯總表，分別見表3和表4。表3和表4顯示，經小波-卡爾曼去噪后建立的統計回歸模型的各參數值提高，標準估計的誤差降低，模型的回歸精度提升。

表3 方案1模型匯總

表4 方案2模型匯總

3.4 監測數據的預測

為了進一步驗證去噪預處理后模型的實用性和優越性，對2種方案的數據進行對比分析。用后10期實測值為樣本與預測值對比，繪制監測點的預測效果如圖4所示。

計算絕對誤差平均(MAE)和均方根誤差(RMSE)，作為預測模型評價的標準。具體預測值和2種方案的MAE、RMSE值見表5。

圖4 兩測點2種方案的預測值對比

表5 2種方案的實測值和預測值對比

圖4顯示，相比方案1，方案2各時段的預測結果更接近實測值；表5顯示，方案1兩測點的絕對誤差平均(MAE)和均方根誤差(RMSE)分別為0.33、0.08和0.35、0.09，方案2兩測點的絕對誤差平均(MAE)和均方根誤差(RMSE)分別為0.08、0.03和0.09、0.03，兩測點的MAE和RMSE都有所降低，但方案2降低得較為明顯，上述分析結果表明方案2預測精度更高，用小波-卡爾曼濾波后數據建立的統計模型的預測結果更符合工程實際。

4 結 論

本文以工程實際為研究對象，針對監測數據中含高斯白噪聲導致傳統統計模型預測精度低的問題，探討小波分析和卡爾曼濾波在監測數據噪聲處理中的適用性，得出以下結論：

(1) 小波分析能夠剔除原始監測信號中的粗差和噪聲，但易丟失部分有用信息；卡爾曼濾波能夠有效濾除監測信號中的高斯白噪聲，在小波分解的基礎上引入卡爾曼濾波處理，其結果較單一濾波方法好。

(2) 經小波-卡爾曼濾波方法數據預處理后建立的統計模型，回歸參數明顯增大，標準估計誤差明顯降低，提高了模型的回歸精度；預處理后數據建模的預測結果與實測結果較為接近，MAE和RMSE都有所降低，預測精度提高明顯，該模型對工程實際具有一定的實用性，有參考價值。