含非線性項的分數(shù)Langevin方程反周期邊值問題

王莎莎

（商丘工學院，河南 商丘 476000）

近些年,分數(shù)階Langevin方程在物理、生物化學、經(jīng)濟、科技、數(shù)學等領域都有著廣泛的應用,故引起了人們對其進一步的研究.在本章中，我們主要研究帶u'(t)邊值條件的分數(shù)階微分方程兩點邊值問題

其中，T∈R+，1＜α≤2，0＜β≤1，0＜α-β＜1.0＜γ≤α，λ是實數(shù).cDα，cDβ，cDγ分別是α，β，γ階Caputo分數(shù)階導數(shù)，f∈([0,T]×R×R,R).

為了得到上式的解，我們先給出以下的定義和引理.

定義（含參量正常積分的可微性）設f(x,y)，fx(x,y)在R=[a,b]×[p,q]上連續(xù)，c(x)，d(x)為定義在[a,b]上其值含于[p,q]內(nèi)的可微函數(shù)，則函數(shù)在[a,b]上可微，且

下面將給出一個引理，我們先定義F:X→X如下

引理 對(Fu)(t)利用含參量正常積分的微分，可得

我們主要利用Banach壓縮映射原理和Krasnosel’skii 不動點定理來討論解的唯一性.不妨令I=[0,T]，C(I)表示I上所有連續(xù)實數(shù)組成的空間，定義X={u(t)∈C(I),u'(t)∈C(I),t∈I}，且范數(shù)定義為.易證I是Banach空間.

定理 假設存在常數(shù)p∈(0,α-1)和實值函數(shù)，使得對幾乎每個t∈[0,T]，x，y，u，v∈R成立，且

證明 對 u,v∈X和t∈[0,T]，由 lderoH 不等式，我們得到

所以

由假設可得F是壓縮映射.

由Banach不動點定理，可知F有唯一不動點.即邊值問題在[0,T]上有唯一解.