求解隨機微分方程的一個新的數值格式*

朱偉丹，王自強

(貴州民族大學數據科學與信息工程學院，貴州 貴陽 550025)

大多數隨機微分方程的解析解不容易獲得，許多研究者通過構造數值格式來獲得數值解，常見的數值解法有Euler法[1]，Milstein法[2]等，這些數值解法都是基于Ito隨機Taylor展開下在不同的地方截斷得到的[3-5]，而本文將從一維隨機微分方程的積分方程形式出發，結合Simpson公式和Milstein方法的離散思想，建立了一個求解一維隨機微分方程的新的數值格式，第一部分給出隨機微分方程的高階數值格式構造的過程，第二部分給出數值運算結果。

1 隨機微分方程的數值格式構造

考慮如下一維隨機微分方程：

dX(t)=f(X(t))dt+g(X(t))dw(t)，0≤t≤T

(1)

滿足如下的初值條件：

X(t0)=X0

(2)

其中，f，g分別稱為漂移系數和擴散系數，w(t)為標準維納過程，并且滿足以下三個性質[3]：

1)w(0)=0(概率為1)；

2)對于0≤s

3)對于0≤s

(1)式可寫成如下等價積分形式：

k=0，1，…，N-1

(3)

現對f(X(t))進行構造高階數值格式，將區間進行離散化，將區間[0，T]劃分成N份等分小區間，令t0=0

(4)

利用線性插值法，在區間[t0，t1]上對f(X(t))作如下逼近：

f(X(t))≈ψ0(t)f(X(t0))+ψ1(t)f(X(t1))

(5)

則在區間[t0，t1]上，將(4)式和(5)式代入(3)式得到：

(6)

其中ψi(t)，i=0，1為線性插值基函數，定義如下：

(7)

其中：

(8)

在區間[t1，t2]上，利用二次拉格朗日插值法，f(X(t))在[t1，t2]作如下逼近[7]：

f(X(t))

≈φ0，1(t)f(X(t0))+φ1，1(t)f(X(t1))+

φ2，1(t)f(X(t2))

(9)

其中：φi，1(t)，i=0，1，2為t0，t1，t2三個點處的二次拉格朗日插值基函數，定義如下：

(10)

將(9)式代入(3)式，令k=1，t=t2得到：

X(t2)

(11)

其中：

(12)

現在進行下一步的格式構造，假設我們已經構造出了X(t1)，l=0，1，…，k，利用同樣的方法繼續構造X(tk+1)如下：

X(tk+1)

(13)

其中：φi，k(t)，i=0，1，2;k=1，2，…，N-1為點tk-1，tk，tk+1上的二次拉格朗日插值基函數：

(14)

(15)

其中R是對隨機項進行Taylor展開的余項。

由文獻[4]，記

G1(X(tn))=g(X(tn))，

G2(X(tn))=g(X(tn)+ΔtG1(X(tn)))，

則有如下式子：

g(X(tn))g′(X(tn))

(16)

(17)

(18)

設Xk為X(tk)，k=0，1，…，N的近似值，把(18)式代入(6)式，(11)式……