形涵并重，自然建構規律

■江蘇省江陰市晨光實驗小學 蔣新婭

一、解讀剖析，尋根究因

乘法分配律到底難在哪里？學生出錯的原因是什么？數學教師以前在教學中存在什么共同問題？筆者反復研讀教材，查閱了相關資料，也對學生進行了訪談調查，與備課組的教師商討分析，有了以下一些思考。

（一）結構復雜

學生以前學過的運算律都只涉及一種運算，等號兩邊都只有一種運算，結構簡單，等號兩邊數的個數都不變。而乘法分配律等號兩邊數的個數、運算符號及運算順序也不完全一樣。如此復雜的結構特征，學生理解、記憶和運用的難度增加了。

（二）表述抽象

乘法交換律和乘法結合律直觀形象，學生比較容易用語言歸納表達。而教材中乘法分配律是這樣表述的：兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們分別與這個數相乘，再把所得的積相加，這叫作乘法分配律。這樣的定義對學生來說太長、太過抽象，閱讀、理解記憶起來很有負擔。

（三）負面遷移

前面學過的其他運算律對于乘法分配律的學習，雖然研究方法有一定的正遷移，但也會造成一定的負遷移。學生特別會將乘法分配律與乘法結合律混淆，在運用它們時經常會張冠李戴。

（四）變式多樣

應用乘法交換律和乘法結合律簡便計算時，等式的兩邊只是交換乘數的位置或者改變運算順序，模式比較固定。而應用乘法分配律簡便計算的題型多樣，有分配形式的順向應用，也有合成形式的逆向應用，還有其他形式的變式應用。學生既要關注算式中的數據特征，還要思考怎樣運用乘法分配律靈活地拆分、合并數據等，使計算簡便且結果不變，這對學生來說難度相當大。

二、實踐嘗試，探求良策

（一）聯系生活情境，抽象等式

數學教師要設法挖掘生活素材，使學生在具體生動的情境中形象地理解所學知識，感受和體驗數學知識形成的過程。教學中筆者創設了這樣兩個情境：

①農莊里有櫻桃樹7行，每行12棵；有杏樹3行，每行12棵。果園里的櫻桃樹和杏樹一共多少棵？

②一張桌子56元，一把椅子24元，15套這樣的桌椅一共要多少元？

果樹、桌椅都是學生熟悉的生活事物，他們根據題意列出了兩種不同的綜合算式解答。不同的算式求的是同一個問題，因此可以自然地抽象得出兩個等式。這樣的學習是生動的，學生真正體會到了數學與生活的聯系，感受到數學的應用價值。

（二）采用數形結合，直觀解釋

數形結合，可以使抽象的數學語言、數量關系變得具體形象，便于理解。筆者引導學生根據題意畫出了如下兩個示意圖，從而理解等式左右兩邊不同算式的具體意義。

如圖①所示，算式7×12＋3×12是分別算出櫻桃樹和杏樹各有多少棵，再相加；因為櫻桃樹和杏樹每行都是12棵，也可以先算櫻桃樹和杏樹一共有幾行，再乘每行12棵，算式是（7+3）×12。不管哪種方法，都是求兩種樹的總棵數，所以7×12＋3×12=（7+3）×12。

如圖②所示，橫著看，算式56×15＋24×15是先分別算出15張桌子和15把椅子的價錢，再相加；也可以豎著看示意圖，先求出一套桌椅的價錢，再算15套的總價，算式是（56+24）×15。不管哪種方法，都是求15套桌椅的總價錢，所以56×15＋24×15=（56+24）×15。

算式與圖形結合，豐富了學生的表象，也更加直觀地解釋了等式左右兩邊在形式上不同的本質原因。

（三）挖掘算式意義，理解內涵

在教學中，教師還應該引導學生脫離情境，對學習素材進行數學化的思考，從算式意義上究其本質。

筆者進一步引導學生從乘法的意義來理解等式的含義。如：7×12＋3×12=（7+3）×12，左邊表示7個12加上3個12，也就是10個12，右邊也表示10個12，所以相等。56×15＋24×15=（56+24）×15，左邊表示56個15加上24個15，就是80個15，右邊也表示80個15，所以相等。清晰的數學表象在學生的頭腦中建立起來，他們透過表象挖掘規律的內涵，真正理解了等式兩邊結構變化與運算意義的密切聯系。

（四）創編生活實例，豐富感知

情境不僅能抽象出等式，也是學生理解和思考的依托。教學中，教師應該將情境用好、用實，為數學學習提供有力的支撐。在上述兩個情境的基礎上，筆者進一步引導學生思考：如果調整梨樹、杏樹的行數和每行棵數（每行棵樹要相等），桌椅的套數和單價（桌椅數量要相等），是否又能得出一些類似的等式？你能試著再創編出其他生活問題來解釋等式嗎？學生思維被啟發，感知從單一到豐富，自然而然地明白：不管是這兩個情境還是自己創編的例子，相關數據改變，還是能夠得到類似等式。根據這些豐富的等式，學生自然有了猜想，再舉例驗證，最后歸納概括得出規律，學生頭腦中一步步自然建構出了乘法分配律的模型。

（五）設計對比辨析，厘清本質

在簡便計算時，學生將乘法分配律與乘法結合律混淆的錯誤頻頻發生，這說明學生只是單純地機械記憶和模仿，沒有厘清兩個規律的本質區別。

針對這一現象，筆者設計了幾個層次的對比辨析活動。第一個層次：引導學生對比乘法分配律和乘法結合律的字母表達式，比較它們有什么相同和不同？第二個層次：簡便計算25×44，要求用不同方法，并比較兩種方法的不同。25×44=25×4×11=100×11=1100；25×44=25×（40＋4）=25×40＋25×4=1000＋100=1100。學生通過對比分析，發現要根據算式特點決定用哪種運算律。三個數連乘，應該運用乘法結合律；算式中是兩種運算，兩個數的和乘第三個數，可以運用乘法分配律。通過這樣的對比辨析，學生深刻理解并區分出了這兩種運算律的本質區別，運用它們簡便計算時就會更加自如。

總而言之，所有的教學研究都應該落實到具體的教學實踐中，從而發現問題、解決問題。乘法分配律的教學，一定要聚焦數學的本質，引導學生經歷規律的建構過程，從多個方面理解規律的外形結構與本質內涵，從而完善認知結構，感悟數學思想方法，提升數學學習能力。