電磁波測距邊長歸算到高斯投影面上方法探討

陳維燕，蔡林紅，曹 強

(浙江省工程物探勘察設計院有限公司，浙江 杭州 310005)

在目前的工程測量中，邊長是由電磁波在地球自然表面觀測的斜距，出于建立控制網等目的，長度值應該歸化至標石間的水平距離[1]，因而要進行一系列的改正。這些改正大致可以分成三類：一是儀器系統誤差的改正；二是大氣折射率變化所引起的改正；三是歸算改正[2]。本文主要探討歸算方面的改正。

1 斜距歸算至大地線長度

電磁波測距測得的長度是連接地面兩點間的直線斜距D，由于受大氣折光的影響，實際視線應為S，r為波道的曲率半徑，β為波道曲率半徑夾角[3]，如圖1所示。大地點Q1和Q2的大地高分別為H1和H2，現要求大地點在橢球面上沿法線的投影Q1′和Q2′間的大地線長度s。

圖1 斜距歸算到參考橢球示意圖

1.1 S-D的歸算

由已知資料可知，

(1)

展開級數后，得：

(2)

式中,可令r=4R[4]。當S=10 km時，式(2)中第二項約等于0.06 mm，第三項幾乎為0，考慮到實際工作中，邊長一般不會超過10 km，故可以認為S=D。

1.2 D-d的歸算

在三角形Q1Q2O中，根據余弦定理可知：

D2=(H1+RA)2+(H2+RA)2-2(H1+RA)×(H2+RA)cosα

(3)

(4)

(5)

帶入式(4)可得：

(6)

將式(6)帶入式(3)可得：

(7)

1.3 d-s歸算

由已知公式可知：

(8)

展開泰勒級數后，得：

(9)

當S=10 km時，式(9)中第二項約等于1 mm，第三項幾乎為零，故式(9)可簡化為：

(10)

式中,

(11)

至此，即完成了斜距至參考橢球大地線長度的歸算。

式(10)經過進一步簡化，又可寫成：

(12)

式中，

Δh=H2-H1

(13)

Hm=(H2+H1)/2

(14)

從式(12)可以看出,斜距歸算至大地線長度可分成三項，第一項是由于測線兩端的高差引起的傾斜改正，經過此項改正，測線已變成平距；第二項是由于平均測線高出參考橢球面而引起的投影改正，經過此項改正，測線已變成弦線；第三項是由弦長歸化成弧長[5]。

2 大地線長度歸算至高斯投影面

大地線長度s歸算完成后，現要計算其在高斯投影面上的平距D1,如圖2所示。

圖2 大地線長度歸算至高斯投影面上示意圖

由控制測量可知：

D1=ms

(15)

式中，m為長度比。可按下式計算：

m=(m1+4mm+m2)/6

(16)

(17)

(18)

平均值為：

(19)

將式(17)、(18)代入式(15)、(16)，可得：

(20)

式中，

ym=(y1+y2)/2

(21)

Δy=y2-y1

(22)

Rm=(RA1+RA2)/2

(23)

式(20)可用于一等測量計算，對于二等測量有式(24)：

(24)

對于三等測量有式(25)：

(25)

至此，就完成了電磁波測得的斜距值至高斯投影平面的歸算改正。

根據已有的研究成果，只要Hm的取值在0±6.4 m范圍內即可[6]。考慮到我國克拉索夫斯基橢球的高程異常最大為65 m，全國范圍平均為29 m，1975年橢球的高程異常全國范圍平均為10 m，因此我國高程異常在0±6.4 m的區域，進行高程歸化時，Hm可用正常高計算。當精度要求不很高時，在我國任何地區，Hm都可用正常高計算。

RA具體取值為按緯度、方位及橢球元素在《一、二等基線測量細則》的附表“任意法截弧曲率半徑計算用表”中查取[7]。但在實際應用中，RA所允許的偏差大小與測距邊平均高程面相對于投影面的高程Hm的絕對值的大小成反比。若以測區的平均高程面為投影面，取1 km已是不太可能出現的極端情況,卻仍允許RA有40 km的偏差。因此我國任何地點、任何方位的區域性橢球的曲率半徑均在6 370 km±40 km以內,完全沒有必要再按緯度、方位及橢球元素作形式上的嚴格計算。在實際計算中，RA值為6 370 km足以滿足精度的需要[8]。

3 在實際中的應用

下面舉例說明上述公式在實際中的應用。

在A、B點上進行距離測量，儀器直接測得的距離S=1 753.02 m。A、B點的假定坐標分別為(105 260.45,104 219.49,60.25)，(103 670.88,103 480.33,30.42)。

計算過程：

(1)斜距歸算至大地線長度

將S代入式(13)、(14)得：

Δh=H2-H1=29.83 m

Hm=(H2+H1)/2=45.34 m

代入式(12)，RA取6 370 km，可得

即斜距歸算至大地線長度為1 752.76 m。

(2)投影改正

根據式(21)、(22)，可得：

ym=(y1+y2)/2=103 849.91 m

Δy=y2-y1=739.16 m

將第(1)步計算出的大地線長度s代入式(20)，Rm取6 370 km，可得：

即觀測的距離歸算到高斯投影面上的距離為1 752.99 m。

4 結 論

本文主要探討了歸算改正的基本原理、計算公式及相關參數的取值。由前文的敘述可以看出：

(1)若測量精度要求不高，或者邊長較短且高差不大的情況，兩點間的平距可由儀器觀測的斜距直接計算得出，不必進行改正[9]；若測量精度要求較高，應按照式(12)，首先，將斜距歸算成測線平均高程面上的平距，然后，將平距進行高程歸算至參考橢球面上，最后，按照式(20)歸算至高斯投影面上[10]。在實際計算時，Hm一般取正常高，RA取6 370 km已完全能夠滿足精度的需要。

(2)根據本文及之前的研究成果，我國高程異常在0±6.4 m的區域，進行高程歸化時，Hm取正常高即可滿足高精度測量要求；當精度要求不是很高時，在我國任何地區，Hm都可用正常高計算。但本文及之前的研究未探討高程異常在0±6.4 m外的區域進行高精度測量計算時Hm的取值問題。

(3)電磁波測距邊長歸算到高斯投影面上，之前已做了一定的研究，與先前發表的研究成果比較，本文側重基本原理的介紹、進行計算公式的推導并結合實際應用進行了過程演示。

(4)本文從理論上推導出了電磁波測距邊長歸算到高斯投影面上的嚴密計算公式，并探討了在實際計算中相關參數的取值，有一定的理論和實用意義。

(5)進一步研究本課題，能夠更加明確其基本原理和相關參數的選取，提高測量精度。