兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制的非線(xiàn)性Duffing 振子共振特性研究

孫健華，魏 巍，丁維高，謝 進(jìn)

（西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031）

1 引言

在機(jī)械振動(dòng)學(xué)[1]、能量俘獲[2]、信號(hào)檢測(cè)[3]等領(lǐng)域中許多物理系統(tǒng)的計(jì)算模型均為Duffing 振子。當(dāng)Duffing 振子系統(tǒng)受到的外加激勵(lì)頻率與系統(tǒng)的固有頻率接近時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)主共振現(xiàn)象；另外，Duffing 振子的分岔、混沌運(yùn)動(dòng)及其運(yùn)動(dòng)控制一直是工程科學(xué)研究的重要課題。

目前，針對(duì)于Duffing 振子的運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題已經(jīng)有了許多研究成果[4-6]。近年來(lái)，利用分?jǐn)?shù)階微積分控制項(xiàng)的控制技術(shù)引起了廣泛的關(guān)注。研究表明：該項(xiàng)控制技術(shù)能夠有效地改善控制器的控制效果，提高控制系統(tǒng)的魯棒性[7]。就Duffing 振子的運(yùn)動(dòng)及其控制而言，文獻(xiàn)[8]研究了受單項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制的Duffing 系統(tǒng)，研究表明：增大分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)的系數(shù)和階次可使系統(tǒng)的共振振幅和共振頻率同時(shí)減??；文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了基于速度的分?jǐn)?shù)階PID 控制器，使控制器的比例、積分、微分環(huán)節(jié)以等效線(xiàn)性阻尼、等效線(xiàn)性剛度或等效質(zhì)量的形式，對(duì)非線(xiàn)性Duffing 振子的混沌運(yùn)動(dòng)、共振振幅和共振頻率施以控制。

文獻(xiàn)[10]研究了受兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制的單自由度線(xiàn)性振子的控制。研究表明：采用兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)，不但可以增加控制參數(shù)的可調(diào)范圍，而且可以在減小線(xiàn)性振子系統(tǒng)的共振幅值的同時(shí)增大線(xiàn)性振子系統(tǒng)的共振頻率。

基于上述分析，提出將基于振子位移的兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)施加于非線(xiàn)性Duffing 振子系統(tǒng)中，以期實(shí)現(xiàn)Duffing 振子的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，同時(shí)達(dá)到減小Duffing 振子共振幅值、共振頻率的目的。

2 受兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)的Duffing振子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程及其近似解析解

非線(xiàn)性Duffing 振子的動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：m—系統(tǒng)質(zhì)量；x—系統(tǒng)振子的位置；k1—線(xiàn)性剛度；k2—非線(xiàn)性剛度；c—線(xiàn)性阻尼；F—外加激勵(lì)力幅值；ω—外加激勵(lì)頻率。

將兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)同時(shí)引入到非線(xiàn)性Duffing 振子系統(tǒng)中，得到：

式中：ce，ke—系統(tǒng)（2）的等效阻尼和等效剛度。

在兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，實(shí)際上是通過(guò)改變分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)KD1、KD2和階次p3、p4的取值，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)等效阻尼和等效剛度的調(diào)整，進(jìn)而達(dá)到對(duì)Duffing 振子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行控制的目的。

等效阻尼ce和等效剛度ke隨分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)系數(shù)KD1、KD2和階次p3、p4的變化規(guī)律，如圖1 所示。從圖1（a）可見(jiàn)：KD1與等效阻尼ce、等效剛度ke之間均為線(xiàn)性關(guān)系，且隨著KD1增大，兩者同時(shí)增大；從圖1（b）可見(jiàn)：KD2與等效阻尼ce、等效剛度ke之間均為線(xiàn)性關(guān)系，且隨著KD1增大，等效阻尼ce增大，而等效剛度ke減小。對(duì)比圖1（a）和圖1（b）可以發(fā)現(xiàn)：圖1（b）直線(xiàn)的斜率大于圖1（a）直線(xiàn)的斜率，說(shuō)明KD2對(duì)等效阻尼ce和等效剛度ke的影響要大于KD1的影響。從圖1（c）及圖1（d）可見(jiàn)，等效阻尼ce和等效剛度ke隨階次p3、p4的變化均呈現(xiàn)出非線(xiàn)性的變化規(guī)律，而且，p4的變化對(duì)于等效阻尼ce和等效剛度ke的影響要大于p3的影響。

圖1 分?jǐn)?shù)階參數(shù)對(duì)系統(tǒng)等效阻尼ce 和等效剛度ke 的影響Fig.1 Effects of Fractional-Order Parameters on Equivalent Damping ce and Equivalent Stiffness ke

3 系統(tǒng)定常解及其穩(wěn)定性分析

由式（10）可得：

取非線(xiàn)性Duffing 振子系統(tǒng)的參數(shù)m=5，c=0.2，k1=15，k2=1，F(xiàn)=3，ε=0.05，圖2 中的虛線(xiàn)所示為無(wú)任何控制的Duffing 振子幅頻曲線(xiàn)。從圖中可見(jiàn)，當(dāng)ω＞2.0 的時(shí)候，對(duì)應(yīng)于同一個(gè)ω 值有（2～3）個(gè)穩(wěn)態(tài)的幅值，因而，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)了幅值跳躍現(xiàn)象，說(shuō)明振子的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。若將滿(mǎn)足定常解穩(wěn)定條件的分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)加入系統(tǒng)中，即滿(mǎn)足式（15）的分?jǐn)?shù)階微分參數(shù)：p3=0.4、p4=1.5，KD1=3、KD2=2，可以得到在分?jǐn)?shù)階微分控制下的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)，如圖2 中的實(shí)線(xiàn)所示。圖中的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)說(shuō)明：滿(mǎn)足式（15）的分?jǐn)?shù)階微分控制可以消除幅值跳躍現(xiàn)象，使振子處于穩(wěn)定振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

利用式（15）及上述各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，還可以根據(jù)期望共振振幅a*和共振頻率ω*確定出分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)的參數(shù)。例如：a*＝0.6，ω*＝2，相位角θ=－45°。首先取p3=0.5，p4=1.5，由式（15）可以得到KD1=3.365，KD2=－1.37225。顯然，對(duì)于同一組a*及ω*，可以有多組的分?jǐn)?shù)階微分控制的參數(shù)可供選擇，這樣就為提高和改善控制器的效能提供了寬闊的空間。

4 分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)參數(shù)的取值對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)頻幅的影響

鑒于兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)中4 個(gè)參數(shù)均對(duì)Duffing 振子的運(yùn)動(dòng)有不同程度的影響，在本小節(jié)中，將利用第3 節(jié)中得到的近似解析解，分析分?jǐn)?shù)階微分系數(shù)KD1，KD2及階次p3，p4四個(gè)參數(shù)的取值對(duì)共振振幅和共振頻率的影響。在分析中選取Duffing 振子系統(tǒng)的參數(shù)為m=5，c=0.2，k1=15，k2=1，F(xiàn)=3，ε=0.05；如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，分?jǐn)?shù)階微分控制參數(shù)為KD1=3，KD2=2，p3=0.4，p4=1.5。

4.1 參數(shù)KD1 對(duì)共振振幅和共振頻率的影響

分別取KD1為1，2，3，4，5 時(shí)，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，如圖3 所示。對(duì)應(yīng)的共振頻率和最大共振幅值，如表1 所示。

圖3 KD1 變化時(shí)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.3 Effect of KD1 on Amplitude-Frequency Response Curves

表1 參數(shù)KD1 對(duì)應(yīng)共振頻率和共振幅值Tab.1 Parameter KD1 Corresponds to Resonant Frequencies and Common Amplitudes Value

從圖3 和表1 可知：隨著分?jǐn)?shù)階微分系數(shù)KD1的增大，Duffing振子共振時(shí)最大穩(wěn)態(tài)幅值逐漸減小，同時(shí)，系統(tǒng)共振頻率逐漸增大。由圖1（a）可知，KD1增大，等效阻尼ce和等效剛度ke均增加。等效阻尼增大，使系統(tǒng)共振振幅減小；等效剛度增加提高了系統(tǒng)的固有頻率，從而使共振頻率增加?？傊?，增大分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)系數(shù)KD1，能夠減小系統(tǒng)的共振振幅，同時(shí)增大系統(tǒng)的共振頻率。

4.2 參數(shù)KD2 對(duì)共振幅值和共振頻率的影響

分別取KD2為1，2，3，4，5 時(shí)，系統(tǒng)幅頻曲線(xiàn)，如圖4 所示。共振頻率和最大共振幅值，如表2 所示。

圖4 KD2 變化時(shí)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.4 Effect of KD2 on Amplitude-Frequency Response Curves

表2 參數(shù)KD2 對(duì)應(yīng)共振頻率和共振幅值Tab.2 Parameter KD2 Corresponds to Resonant Frequencies and Common Amplitudes Value

由圖4 和表2 可知：隨著KD2的增大，系統(tǒng)發(fā)生主共振時(shí)最大共振幅值和共振頻率都較小。由圖1（b）可知，KD2增大，等效阻尼ce增大，然而等效剛度ke減小。等效阻尼增大減小了系統(tǒng)共振振幅，等效剛度的減小降低了系統(tǒng)的固有頻率，使得系統(tǒng)共振頻率降低?？傊?，增大分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)系數(shù)KD2，可以較大程度地減小系統(tǒng)的共振幅值和共振頻率。

4.3 參數(shù)p3 對(duì)共振幅值和共振頻率的影響

分別取p3值為0.2，0.4，0.6，0.8 時(shí)，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)，如圖5 所示。對(duì)應(yīng)的共振頻率和最大共振幅值，如表3 所示。

圖5 p3 變化時(shí)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.5 Effect of p3 on Amplitude-Frequency Response Curves

表3 參數(shù)p3 對(duì)應(yīng)共振頻率和共振幅值Tab.3 Parameter p3 Corresponds to Resonant Frequencies and Common Amplitudes Value

由圖5 和表3 可知：當(dāng)階次p3增大時(shí)，系統(tǒng)的主共振幅值逐漸減小，同時(shí)引起系統(tǒng)發(fā)生主共振的外加激勵(lì)頻率逐漸減小。由圖1（c）可知，p3增大，等效阻尼ce增大，然而等效剛度ke減小。等效阻尼增大，減小了系統(tǒng)共振振幅，等效剛度的減小減低了系統(tǒng)的固有頻率，使共振頻率減小?？傊?，增大階次p3，能同時(shí)減小系統(tǒng)的共振振幅和共振頻率。

4.4 參數(shù)p4 對(duì)共振幅值和共振頻率的影響

分別取p4值為1.2，1.4，1.6，1.8 時(shí)，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)，如圖6 所示。共振頻率和最大共振幅值，如表4 所示。

圖6 p4 變化時(shí)對(duì)幅頻響應(yīng)的影響Fig.6 Effect of p4 on Amplitude-Frequency Response Curves

表4 參數(shù)p4 對(duì)應(yīng)共振頻率和最大共振幅值Tab.4 Parameter p4 Corresponds to Resonant Frequencies and Common Amplitudes Value

由圖6 和表4 可知：當(dāng)p4增大時(shí)，系統(tǒng)主共振振幅增大，然而系統(tǒng)共振頻率減小。由圖1（d）可知，p4增大，等效阻尼ce和等效剛度ke均減小。等效阻尼減小導(dǎo)致系統(tǒng)共振振幅增大，等效剛度的減小降低了系統(tǒng)的固有頻率，使的共振頻率減小?？傊龃箅A次p4，能夠增大系統(tǒng)的主共振幅值，同時(shí)減小系統(tǒng)的共振頻率。

5 結(jié)論

研究了受有兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)的非線(xiàn)性Duffing 振子系統(tǒng)，利用多尺度法得到了系統(tǒng)的一階近似解析解。由近似解析解，推出了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程定常解的穩(wěn)定性條件，分析了兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)參數(shù)對(duì)Duffing 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。

研究結(jié)果表明：對(duì)于非線(xiàn)性Duffing 振子，采用兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制可以獲得較好的控制效果，不僅可以消除系統(tǒng)的幅值跳躍現(xiàn)象，還能減小共振時(shí)穩(wěn)態(tài)幅值，改變系統(tǒng)共振頻率。

兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)中共有4 個(gè)參數(shù)，可分為控制項(xiàng)的系數(shù)KD1、KD2及階次p3、p4兩類(lèi)。研究表明：除階次p4之外，其它3參數(shù)的增大，都能夠使系統(tǒng)的共振幅值減小，而系數(shù)KD1、KD2對(duì)共振幅值的影響要強(qiáng)于階次p3、p4的影響；除系數(shù)KD1外，其他3 個(gè)參數(shù)的增大都將使得系統(tǒng)共振頻率減小。

兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)中4 個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)定常解的穩(wěn)定性有不同程度的影響。4 個(gè)參數(shù)寬泛的取值范圍為提高和改善控制器的性能提供了寬闊的空間。如何根據(jù)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)的所期望的動(dòng)力學(xué)行為，取得兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)階微分控制項(xiàng)的優(yōu)化參數(shù)，將是這里后續(xù)研究的工作。