基于響應面法的動力電池包箱體輕量化優化設計

歐陽威，王麗娟，陳宗渝，曾澤江

（南昌大學，機電工程學院，江西 南昌 330031）

1 引言

電動汽車市場競爭加劇的現狀驅動著汽車生產制造商謀求關鍵核心技術的突破，旨在為消費者提供安全性更高、續航里程更長、綜合體驗更佳的電動汽車產品。動力電池包箱體作為電池模組的保護罩、承載體，關乎著內部動力電池能否正常運行，其結構必須滿足電動車在正常或復雜運行工況下一定的剛度與強度等硬性要求，如何設計出一種高強度、輕量化的電池包箱體對于保障整個動力電池的安全性、提高熱管理效率以及增加電動車續航里程具有重要意義[1]。

鑒于動力電池模組均由一定規格的高密度電池單體通過串并聯成組，電池包的輕量化空間主要集中在箱體上，實現電池包箱體輕量化的有效途經主要有：采用拓撲優化、尺寸優化、形貌優化和形狀優化等結構優化方法；使用輕量化材料；利用先進的成型工藝等[2]。精確的有限元模型是結構響應預測和結構優化的必要條件[3]，結合有限元仿真技術并基于響應面法的優化設計，可方便地通過有效的試驗設計手段將設計變量與結構響應之間的關系以多項式回歸方程的形予以表達，經統計學原理修正并檢驗響應面模型滿足一定的精確度與有效性后能較好的完成對設計響應的平順，在工程上得到了廣泛應用，后續將沿用并拓展此類方法對電池包箱體進行輕量化優化設計。

2 電池包箱體動靜態特性有限元分析

電動汽車在實際行駛過程中，電池包受到的交變載荷較為復雜，其箱體結構能否滿足動靜態性能要求將直接影響內部電池模組和電氣連接的安全性，運用有限元法了解電池包箱體的動靜態特性發現原設計方案的不足，從而為后續優化設計奠定基礎。

2.1 電池包箱體有限元模型的建立

圖1 電池包簡化3D 幾何數模、安裝位置及其有限元模型Fig.1 Simplified 3D Geometric Modeling，Installation Position and Finite Element Model of Battery Package

某款電動汽車動力電池包的三維CATIA 簡化幾何數模，如圖1（a）所示。該動力電池包用8 個M12 螺栓固定于車身上、布置在地板正下方，如圖1（b）所示。整個電池包呈現出較為規則的長方體外形，外輪廓尺寸為（934×566×155）mm，其主體結構包括上箱蓋、下箱體、吊耳、下箱體支撐板及其連接件、電池模組、電氣附件等，電池包箱體各部件母材材料均為Q235 鋼。為了準確有效的模擬電池包箱體與電池模組的相互作用，在HyperMesh 中建立電池包箱體的有限元模型時將復雜的電池模組簡化為一個較為規則的長方體引入，并采用均質化的六面體實體網格劃分電池模組，這便保留了真實的力的傳遞路徑，其余電池包箱體的各部件均采用殼網格劃分，焊點連接按實際的焊點布置情況采用RBE2 單元模擬，最終建立的電池包箱體有限元模型，如圖1（c）所示。單元總數為66187，節點總數為62247，經過合理配重使模型質量和質心與實際的吻合。

2.2 典型工況靜強度與靜剛度分析

路面顛簸工況、緊急制動工況和急轉彎工況是車輛在道路上行駛時遇到的三種典型路面工況，結合典型的路面工況對電池包箱體的靜強度與靜剛度進行考核評估，考慮電動汽車實際運行條件，在MSC.Nastran 中進行有限元模擬分析時將按表1 所述的工況加載方式對整個電池包箱體施加慣性載荷，因電池包通過緊固螺栓與車體相連，為此約束施加在兩側吊耳的8 個螺栓區域，約束自由度為3 個平動自由度。

表1 電池包箱體典型工況與加載方式Tab.1 Typical Working Conditions and Loading Modes of Battery Case

圖2 電池包箱體的等效應力云圖Fig.2 Equivalent Stress Nephogram of Battery Case

經仿真分析，電池包箱體在典型路面三工況下的等效應力云圖，如圖2 所示。其中路面顛簸工況中下箱體的最大等效應力為228MPa，較接近其材料的屈服極限；急轉彎工況中下箱體支撐板的最大等效應力為285MPa，超過其材料的屈服強度，久之有破壞風險；電池包箱體的位移云圖，如圖3 所示。其中路面顛簸工況中下箱體的最大變形量為1.91mm，說明下箱體中部為剛度薄弱區。在對動力電池系統做靜力學分析時，一般要求電池包結構剛度應滿足在1g 加速度工況下結構的最大變形量不應超過1mm，在3g 加速度工況下結構的最大變形量不應超過3mm[4]。不妨假設在1g 到3g 加速度范圍內電池包結構的變形量與加速度呈現出線性關系，則在選擇的典型路面三工況條件下，電池包箱體的最大變形量不應超過2mm。基于此，可判定電池包箱體原方案設計的靜強度不滿足要求，靜剛度基本滿足要求，需做進一步優化。

圖3 電池包箱體的位移云圖Fig.3 Displacement Nephogram of Battery Case

2.3 電池包箱體模態分析

電動汽車在道路上行駛時無時無刻不受到來自路面不平度產生的激勵，路面激勵經過車輪、懸架、車身傳遞到電池包，如果電池包結構的固有頻率接近路面激勵頻率，則會存在共振風險，長此以往電池包存有安全隱患。由于來自路面不平度的激勵矢量幾乎是鉛垂方向，為了提前規避掉共振風險，要求電池包結構的低階鉛垂向約束模態頻率必須高于路面激勵頻率。按照電池包實際的約束情況施加邊界約束，即約束兩側吊耳8 個螺栓區域3 個平動自由度，依據MSC.Nastran 求解的有限元分析結果提取了電池包箱體的前兩階約束模態振型，如圖4 所示。第1 階約束模態為箱體左右擺動振型，第2 階約束模態為下箱體上下跳動振型，頻率為19.18Hz，所以可能與路面激勵產生共振的電池包箱體模態是從第2 階開始的。該電池包所適配的電動車屬于城市用電動車，參考城市道路行駛工況條件，其正常行駛速度一般不超過80km/h，城市道路屬于平坦路面，路面不平度波長在（1.0～6.3）m區間范圍[5]。通常路面激勵頻率與路面不平度波長、車輛行駛速度之間存在如下關系：

式中：μf—路面激勵頻率，單位Hz；λ—路面不平度波長，單位m；V—車輛行駛速度，單位km/h。

由式（1）可計算出與該電池包發生共振的路面激勵頻率最高約為22Hz，另考慮到路面激勵經一系列傳遞后頻響函數有所衰減的因素，實際傳遞至電池包的激勵頻率應低于計算所得，但為了保險起見，把電池包箱體結構的第2 階約束模態頻率的安全閾值設置為路面激勵頻率22Hz 為宜。由此可以判斷電池包箱體原方案設計存有與路面激勵發生共振的風險，需做進一步改進。

圖4 電池包箱體約束模態振型Fig.4 Constrained Modes Vibration of Battery Case

3 基于響應面法的優化方法

3.1 多項式響應面近似模型

響應面優化方法是采用科學的數量化分析方法研究響應變量與輸入變量之間的關系，通過合適的試驗設計方案，獲取某點附近一定規模數量點的實際響應值，建立一個用簡單的函數關系近似替代實際的復雜仿真模型（即響應面模型），在充分靠近這個點的區域內用這個近似模型代替實際函數進行復雜計算，其擬合的精度和擬合效率將直接影響后續優化效果[6-7]。

工程應用中通常采用諸如1 階或2 階形式的低階多項式回歸模型來逼近真實的有限元模型，1 階和2 階多項式響應面近似模型的函數表達式分別為：

式中：y—預測響應；β0—常數項；βi—一次項系數；βii—二次項系數；βij—交互項系數；xi、xj—設計變量；ε—誤差項。

3.2 多元回歸分析與最小二乘估計

回歸分析基于觀測數據確定多個變量間的依賴關系，從而建立不同的回歸模型并估計未知參數，通過對不同關系式的顯著性檢驗選擇合適的響應面模型。為了確定回歸方程的待定系數需要根據合理的試驗方案進行一系列試驗次數不少于待定系數個數的獨立試驗，獲得對應試驗的響應值，又因響應面函數是性能函數的近似，根據響應面函數計算出的結果與試驗所得響應值之間存在一個誤差，為了使建立的響應面最接近所有的試驗數據點，可通過利用最小二乘估計原理使其誤差的平方和最小的途徑實現[8-9]，在求解多元方程組的同時也合理確定了待定系數，從而得到響應面函數。

式中：Y—響應矩陣；β—回歸系數矩陣；X—設計變量矩陣；ε—誤差項矩陣。

設b=［b1，b2，…，bk］T為β=［β1，β2，…，βk］T的最小二乘估計，則［b1，b2，…，bk］T滿足使全部觀測值yi與回歸值yi1的殘差平方和S 最小的要求，即：

將b=［b1，b2，…，bk］T代入可使式（5）取極小值的必要條件方程組（6）求解，即可求得式（7）所示的多項式系數的無偏估計。

式中：b0、bj—回歸系數β0、βj的無偏估計；b—無偏估計陣；X—設計變量矩陣；Y—響應矩陣。

3.3 響應面質量評價

4 電池包箱體輕量化優化設計

4.1 設計變量

為了不變更電池包內部電池模組和電氣附件的布置，從最經濟的角度考慮，以電池包箱體各部件的厚度作為此次優化的設計變量，定義T1為上箱蓋厚度，T2為下箱體厚度，T3為左右側4個吊耳的厚度，T4為下箱體支撐板厚度，T5為支撐板連接件厚度，設計變量尺寸范圍，如表2 所示。

表2 電池包箱體優化設計變量尺寸范圍Tab.2 Variables Size Range for Optimum Design of Battery Case

4.2 目標函數與約束函數

通過對電池包箱體的動靜態特性有限元分析可知，其原方案設計存在不足之處，為了使電池包箱體輕量化優化后滿足動靜態性能要求，考慮以電池包箱體在典型路面三工況下的最大等效應力σmax、最大變形量dmax和箱體結構的第2 階約束模態頻率μf以及箱體質量M（T）為設計響應，則輕量化優化時的數學模型表達式為：

式中：σI、dl—箱體在路面顛簸工況下的最大等效應力、最大變形量；σm、dm—箱體在緊急制動工況下的最大等效應力、最大變形量；σn、dn—箱體在急轉彎工況下的最大等效應力、最大變形量；［σ］、［d］—箱體各部件材料的許用應力（取235MPa）、箱體在典型路面三工況下的變形量許用極限（取2mm）；［μ］—由路面不平度引起的激勵頻率（取22Hz）；T—設計變量矩陣。

4.3 建立擬合多項式響應面近似模型

4.3.1 Box-Behnken 試驗設計

由于電池包箱體輕量化優化數學模型中引入的設計響應類型較多且穿插在目標函數與約束函數中，同時考慮到效率、設計區域與操作區域問題，在此選擇Box-Behnken 試驗設計（簡稱BBD）來擬合設計變量與響應之間的函數關系。BBD 是一類基于三水平不完全階乘設計的可旋轉或近似可旋轉二階設計，它把因子各試驗點取在立方體棱中心，且所有試驗點均在同一球面上[11-12]，并未把所有試驗因子同時置于高水平，對于試驗區域較嚴格、因子水平較限制時相對有效。在Design-Expert 軟件中利用BBD 進行5 個設計變量3 個水平試驗設計時的設計因子及其水平編碼情況，如表3所示。并根據表3 獲得了46 個試驗組合，進而按照BBD 安排的試驗順序依次開展箱體的動靜態特性有限元分析，采集對應試驗組合的各設計響應值得到構造響應面近似模型所需的設計矩陣。

表3 Box-Behnken 試驗設計因子及其水平編碼Tab.3 Box-Behnken Design Factors and its Level Codes

4.3.2 回歸方程的建立及有效性分析

通過對試驗設計矩陣數據的多元回歸分析、關系式未知參數的最小二乘估計以及回歸方程的顯著性檢驗，最終擬合得到了各設計響應的多項式回歸方程，它們的函數關系表達式分別為：

各實際設計響應與模型預測響應奇偶檢驗圖，如圖5 所示。若是落在檢驗圖對角線上或對角線附近區域的點越多，則表明所建立的響應面回歸方程準確性越高，由圖5 可知，擬合的各設計響應面模型的校驗值基本上均緊鄰檢驗圖對角線，說明試驗值與模型預測值之間具有較佳的擬合性。

采用帕累托方差分析對回歸方程進行了顯著性檢驗以及描述性統計分析以評價其有效性，結果如表4 所示。p 值為檢驗模型是否顯著的有效工具，由表4 可知，所擬合的響應面模型均滿足p＜0.0001，表明模型高度顯著；M（T）響應面模型的R2和均等于1 且MSE 很低，表明其精確度和可靠性極高；而其余3 個響應面模型的R2和均較接近于1，說明它們擬合出的回歸方程質量較好，滿足一定要求。

圖5 各實際設計響應和模型預測響應奇偶檢驗圖Fig.5 Parity Plots of Actual Design Responses and Model Predictive Responses

表4 響應面模型方差分析與質量評價Tab.4 Response Surface Models Variance Analysis and Quality Evaluation

4.3.3 輕量化優化與驗證

將擬合有效的響應面模型代入電池包箱體的輕量化優化數學模型中進行迭代求解，得到設計區域內圓整后的最優組合為（T1，T2，T3，T4，T5）=（0.7mm，1.4mm，2.1mm，1.3mm，1.1mm），為了驗證模型優化的準確性，根據最優組合設計試驗進行有限元仿真驗證，結果如表5 所示。由表5 可知，所得到優化方案的模型預測響應值與有限元仿真結果較為接近，相對誤差較小，有較高的準確性，優化效果顯著，不僅使箱體質量相比于原方案減少了7.4%，減重效果較理想，而且使箱體在典型路面三工況下箱體的最大等效應力降低了18.6%、最大變形量減小了22.5%，箱體結構的第2 階約束模態頻率提高了14.8%，箱體的動靜態性能得到明顯改善。

表5 優化結果與驗證Tab.5 Optimized Results and Verification

為了避免電池包箱體輕量化后整體支撐剛性下降從而增加動力電池的碰撞安全風險，另需校核動力電池在碰撞工況下的安全性。由于電池包布置在前地板正下方，選擇相對電池包危險系數較高的50km/h 側面碰撞工況在Ls-Dyna 中進行電動車整車碰撞安全仿真以察看電池包在整車上的變形情況，側碰過程中移動壁障與整車即將發生分離時整車最大變形圖，如圖6（a）所示。電池包主體在側碰過程中整車最大變形時的位移云圖，如圖6（b）所示。側碰仿真結果表明：來自移動壁障的沖擊載荷主要由車體結構承受了而只有小部分傳遞至電池包，即使是側面碰撞中整車變形最嚴重時，箱體側壁也未接觸到電池模組，內部電池模組未受到擠壓，尚余安全空間，滿足法規GB/T31498-2015 電動汽車碰撞后安全要求中對REESS 移動要求的規定。

圖6 50km/h 側面碰撞整車與電池包主體最大變形情況Fig.6 The Maximum Deformation of Vehicle and Battery Package in 50km/h Side Impact

5 結論

通過CAE 分析發現某電動汽車動力電池包箱體原方案的動靜態特性存在不足，出于續航里程與經濟性的考慮，以厚度為設計變量，在滿足動靜態性能的前提下，為獲得質量較小的電池包箱體，提出了一種基于Box-Behnken 響應面法與有限元仿真相結合的電池包箱體輕量化優化設計方法。（1）利用Box-Behnken 試驗設計方法建立了典型路面工況下箱體最大等效應力、最大變形量和箱體結構第2 階約束模態頻率以及箱體質量對箱體各部件厚度的響應面模型，經檢驗可較準確反應設計變量與各響應之間的關系。（2）將響應面模型引至所建立的電池包箱體輕量化優化數學模型中進行迭代求解，獲得了設計區域內最優組合（T1，T2，T3，T4，T5）=（0.7mm，1.4mm，2.1mm，1.3mm，1.1mm），相比于原結構，電池包箱體在質量與性能指標上達到了更佳的平衡狀態。（3）經整車50km/h側面碰撞工況的校核，發現車體結構承受了移動壁障的主要沖擊載荷，即便最大變形時內部電池模組也未受到箱體側壁的擠壓，保證了箱體輕量化后動力電池的碰撞安全性。