基于函數型數據時間序列建模的齒輪破損圖像識別

孫雅娟，史岳鵬，馮志慧

（1.河南牧業經濟學院信息工程學院（軟件學院），河南 鄭州 450046；2.河南牧業經濟學院能源與智能工程學院，河南 鄭州450046；3.河南農業大學信息與管理科學學院，河南 鄭州 450002）

1 引言

齒輪是機械設備中主要的傳動機械元件，被廣泛應用于工業及制造業生產中[1]。齒輪破損不僅會影響自身運行狀態，更是造成機器發生故障的重要原因，甚至嚴重危害人身安全，導致突發性事故，造成極大的經濟財產損失[2]。因此，識別齒輪破損圖像，對于降低設備運行風險、預防突發性事故的發生具有重要的意義和實用價值。相關領域的不同學者也對其進行了研究，并取得了一定的研究成果，文獻[3]設定鄰域窗口的灰度均方差積以及灰度重心方向，代表圖像邊緣強度及灰度變化方向，根據閾值化得到初始邊緣，劃分灰度變化方向，建立一維灰度矩模型，求解亞像素邊緣位置，依據齒輪邊緣特性結合最小二乘擬合法，實現對齒輪圖像的檢測效果。該方法的曝光敏感度較好，絕對定位精度較高，但該方法齒輪圖像檢測結果與實際不符，存在識別誤差問題。文獻[4]采用圖像處理與識別算法，通過Halcon 軟件得到標準漸開線直齒圓柱齒輪圖像及基本參數，根據齒輪基本參數，獲得標準漸開線輪齒輪廓，依據計算的Hausdorff 距離，判斷輪齒合格標準，求得實際齒輪輪廓的Hausdorff 距離，完成輪齒輪廓缺陷檢測。該方法能夠有效地檢測出齒輪缺陷，但該方法識別齒輪輪齒缺陷所用的時間較長，存在識別效率低的問題。

為了解決上述方法中存在的識別所用的時間長、識別結果與實際不符和識別誤差大的問題，提出基于函數型數據時間序列建模的齒輪破損圖像識別方法。

2 圖像預處理

2.1 離散小波取低頻

設（k-2i）代表的是尺度序列和二維離散圖像，存在的頻率子代空間都不相同，（m-2l）代表的是其余的尺度序列，將其尺度設置為零[5]。設（k，m）代表的是齒輪破損圖像對應的像素值；Aj（k，m）代表的是二維齒輪破損圖像。圖像在頻域內可以分解為高頻子帶成分g 和低頻子帶成分h，進而可以將齒輪破損圖像劃分為尺度為j+1 的高頻圖像Hj+1（m，n）和低頻圖像Lj+1（m，n），其表達式分別如下：

式中：Hk—齒輪破損圖像被分解前存在的細節成分等紋理特性；Lj—齒輪破損圖像分解前的低頻分量。

小波尺度函數存在的分辨率都不相同，具有層級形式[6]。離散圖像信號由于具有上述特性，能夠在不同尺度中顯示：

式中：αj，k—尺度系數；φj，k（x）—小波函數；dj，k—小波系數。

利用小波變換方法提取圖像的低頻信息，濾波器組由不同類型的濾波器構成，對圖像信號進行分解處理，獲得頻帶不同的多個子圖像，圖像信號在縮放變換和平移變換下被區分開，呈現出不同的特性和信號成分。

2.2 高通高斯濾波器

所提方法利用高斯高通濾波器實現圖像信號的衰減操作，A（u，v）代表二維高通濾波器在理想狀態下的傳遞函數，其表達式如下：

式中：D0—截止頻率；參數D（u，v）描述的是平面原點與點（u，v）之間存在的距離，其計算公式如下：

以D0為半徑畫圓，將圓周頻率設為零，可以通過高頻信號。

高斯高通濾波進行列操作和行操作兩次卷積操作，通過以上兩次卷積操作可以實現去低取高的目的[7]，A（u，v）傳遞函數的表達式如下：

隨著截止頻率半徑D0的變小，邊緣濾波效果增強。

2.3 雙直方圖均衡化

為了避免信息過度增強和細節信息丟失的現象，基于函數型數據時間序列建模的齒輪破損圖像識別方法，將齒輪破損圖像劃分為兩個子圖，選擇合適的灰度值對其進行直方圖均衡。

設［m，n］代表的是齒輪破損圖像對應的灰度范圍；x 描述的是圖像的灰度值；p（x）代表的是灰度值x 在灰度范圍［m，n］內出現的頻率；nk代表的是像素在灰度值中的總數，通過上述信息構建直方圖px（xk）：

式中：N—像素總數；T—閾值。將原始齒輪破損圖像a 分為子圖a1和子圖a2，其對應的閾值不同，分別在最小灰度值amin與T 范圍中，以及在最大灰度值amax與T+1 范圍中對子圖a1和a2進行均衡處理：式中：h1、h2—經過處理后的齒輪破損圖像子圖；n1、n2—像素在子圖中對應的總數，將h1、h2子圖融合并輸出后進行圖像信號增強處理。

2.4 圖像信號增強

圖像信號增強處理可以改變齒輪破損圖像的質量，有效抗噪，基于函數型數據時間序列建模的齒輪破損圖像識別方法，對齒輪破損圖像進行信號增強處理，增強圖像邊緣輪廓中存在的細節成分，利于齒輪破損圖像的識別。

保留傅里葉譜中存在的直流分量是圖像細節增強的實質[8]，增強直流分量后，再對其余成分進行增強處理，凸顯紋理細節，具體過程如下：

式中：ξ—變位系數；Hh（u，v）—原始輸入圖像像素值。綜上所述，通過小波變換提取圖像的低頻信息，利用高斯高通濾波器增強圖像邊緣濾波效果，選擇合適的灰度值均衡直方圖，增強圖像邊緣輪廓細節，有利于齒輪破損圖像的識別。

3 齒輪破損圖像識別

3.1 基于函數型數據分析的數據提取

為了提高齒輪破損圖像識別時間，基于函數型數據時間序列建模的齒輪破損圖像識別方法，通過FDA 函數化擬合具有周期性的動作捕捉數據：

（1）設［ax，ay，az，ωx，ωy，ωz］代表的是通過傳感器采集的6 維信號，其中ax、ay、az代表的是X 軸、Y 軸和Z 軸對應的加速度；ωx、ωy、ωz分別代表的是X 軸、Y 軸和Z 軸對應的角速度信息。

（2）在每個維度中對6 維信號對應的時間序列y=（y1，y2，…，yn）進行建模：

式中：εi—噪聲；x（ti）—在t 處觀測數據序列函數x（t）對應的取值。通過基函數展開方法求取x（ti）的值：

式中：ck—基函數的線性組合；（ti）—離散數據。

設C 代表的是稀疏向量，確定基函數后得到其表達式：

齒輪破損數據屬于周期型的觀測數據[9]，其基函數可以選用傅里葉級數：

（3）均勻采集擬合函數，提取序列，其長度與單周期樣本點相似：

式中：DL—周期性時序數據。通過上述步驟擬合具有周期性的動作捕捉數據。

3.2 時間序列建模

HMM 描述的是馬爾科夫鏈中存在的簡單概率模型，HMM的基本思想是通過雙重隨機過程描述觀測值和隨機過程之間存在的關系以及馬爾科夫鏈，HMM 的表達式如下：

式中：B—觀測值概率矩陣；Z—馬爾可夫鏈在模型中的狀態數目；A—狀態轉移矩陣；π—狀態概率分布矢量；M—觀測值對應的數目。

采集數據經過函數化處理后即為觀察層中的輸出序列：

顯示層中存在的節點均是每幀的6 維向量。通過排列組合獲得運動狀態集合U：

其中，u1，u2，…，u9均代表的是不同行為。

設λ1，λ2，…，λ9代表的是不同行為對應的模型，設將觀測值對應的數目M 設置為9，采用K-means 聚類算法獲取馬爾可夫鏈在模型中的狀態數目Z，并設置狀態轉移矩陣A 和狀態概率分布矢量π，選取均勻分布的輸出概率矩陣bij，其表達式如下：

4 實驗結果與分析

為了驗證基于函數型數據時間序列建模的齒輪破損圖像識別方法的整體有效性，實驗在英特爾酷睿i5 2.5 GHz CPU、4GB RAM 平臺中進行測試，通過MATLAB R2013a 實現。選取齒數為100，模數為2.5，螺旋角為9°，變位系數為0 的中小模數齒輪進行測試，分別采用所提方法、文獻[3]方法和文獻[4]方法進行對比，對比三種方法識別齒輪破損圖像所用的時間，測試結果，如圖1 所示。

圖1 三種方法的識別時間Fig.1 Identification Time of Three Methods

根據圖1 中的數據可知，隨著齒輪破損圖像的增大，所提方法的識別時間均低于文獻[3]方法和文獻[4]方法的識別時間，由此可知，所提方法的齒輪破損圖像識別時間較短，識別效率較高。因為所提方法通過FDA 對具有周期性的動作捕捉數據進行了函數化，利用函數型數據分析方法，擬合動作捕捉數據，能夠用多個周期的時序數據代替動作捕捉數據，從而有效縮短識別齒輪破損圖像所用的時間，提高齒輪破損圖像的識別效率。

為了驗證所提方法的識別誤差，分別采用所提方法、文獻[3]方法和文獻[4]方法進行對比，對比不同方法齒輪破損圖像識別結果與原始齒輪破損圖像，如圖2 所示。圖2 中采用方框表示原始齒輪破損位置。

圖2 三種方法的齒輪破損圖像識別誤差Fig.2 Gear Damage Image Recognition Error of Three Methods

根據圖2 中的齒輪破損圖像識別結果對比可知，采用所提方法的齒輪破損圖像識別結果與原始齒輪破損位置相符，而采用文獻[3]方法的齒輪破損圖像識別結果未全部識別出齒輪破損處，采用文獻[4]方法的齒輪破損圖像識別結果識別出齒輪未破損處，由此可知，采用所提方法得到的齒輪破損圖像識別結果與實際相符，識別誤差較小。因為所提方法將齒輪破損圖像劃分為兩個子圖，并選擇合適的灰度值對其進行直方圖均衡，利于齒輪破損圖像的識別，有效減小齒輪破損圖像識別誤差。在此基礎上進一步驗證齒輪破損圖像的識別效果，實驗加入σ=0.002 的高斯噪聲齒輪破損圖像，分別采用所提方法、文獻[3]方法和文獻[4]方法進行對比，對比不同方法的齒輪破損圖像識別效果，如圖3 所示。

圖3 三種方法的識別效果Fig.3 Recognition Effect of Three Methods

由圖3 可知，采用文獻[3]方法識別的齒輪破損圖像，圖像邊界模糊，缺少邊緣輪廓細節信息，采用文獻[4]方法識別的齒輪破損圖像，圖像邊界清晰，邊緣輪廓細節信息完整，但邊緣輪廓中細節信息繁多，導致識別結果存在誤差，而采用所提方法識別的齒輪破損圖像，圖像邊界清晰，邊緣輪廓細節信息完整，由此可知，所提方法的齒輪破損圖像識別效果較好。因為所提方法對齒輪破損圖像進行信號增強處理，能夠有效抗噪，提高齒輪破損圖像質量，增強圖像邊緣輪廓中存在的細節成分，從而提高齒輪破損圖像的識別效果。

5 結語

目前齒輪破損圖像識別方法識別齒輪破損圖像時，存在識別效率低、識別誤差大、識別效果差的問題。提出了基于函數型數據時間序列建模的齒輪破損圖像識別方法，采用小波變換及高斯高通濾波器提取圖像高低頻信息，選擇灰度值均衡直方圖并進行圖像增強處理。根據函數型數據分析擬合動作捕捉數據，構建周期時間序列獲得隱馬爾可夫模型，通過最大似然估計函數，計算測試模型與樣本之間的匹配度，實現齒輪破損圖像的識別。該方法可以在較短的時間內準確地完成齒輪破損圖像的識別，有效降低了識別誤差，提高了識別效果，為圖像識別技術的發展奠定了基礎。