考慮可制造性的拓撲優化結果的幾何重構

楊 睿，張少星，唐 暢

（大連理工大學機械工程學院，遼寧 大連 116024）

1 引言

拓撲優化是一種根據給定負載情況和性能指標對設計域內的材料分布進行優化的結構設計方法，拓撲優化理論的發展為各種功能結構的設計帶來便捷[1-2]。但是拓撲優化結果的可制造性較弱[3-4]，反位移結構為例簡述拓撲優化結果的特點及其給加工制造帶來的問題，如圖1 所示。（1）拓撲優化是基于有限元進行優化計算的設計方法，所以其輪廓為離散單元構成的不規則形狀，不便于高效率的機械加工制造；（2）拓撲優化實質上提供了一種理想的材料分布圖，大多得到的是結構的有限元網格信息，其結果沒有具體的幾何尺度與參數化信息，這導致拓撲優化結果與CAD/CAM 的數據傳遞受阻，無法直接用于機械加工。

圖1 拓撲優化結果示意圖Fig.1 Diagram of Topology Optimization Results

拓撲優化結構輪廓的不光滑和未參數化的特點導致拓撲優化結果的可制造性降低，所以需要對拓撲優化的結果進行參數化幾何重構，獲得一個可以滿足制造要求的參數化CAD 模型，并且模型的重構不影響初始的拓撲優化結構響應。針對拓撲優化結果的幾何重構問題，國內外學者從不同角度提出解決方案。付永清等人研究了柔順機構的拓撲圖的提取，提出一種基于梯度矢量流的輪廓提取方法，雖此方法可以較高精度完成拓撲圖提取，但是沒有解決拓撲優化結果參數化和邊界光滑等問題[5]。方宗德等人利用MATLAB 完成拓撲優化結果的幾何重構，用直線和圓弧逼近初始輪廓，此方法在拓撲優化結果具有復雜邊界的時候，重構效果會變差并且會影響結構的初始設計性能響應[6]。GuilianYi 提出基于密度等高線法的輪廓提取算法，雖綜合考慮了性能響應和輪廓光滑度，但是這種方法還需要進行形狀優化才可以達到加工要求，過程較為繁瑣[7]。

綜上，提出一種用B 樣條曲線分段描述拓撲優化結果內外邊界的參數化幾何重構方法，得到的拓撲優化重構模型邊界光滑滿足制造要求，并且可以通過調整輪廓邊界B 樣條曲線插值點的數目控制重構模型與拓撲優化結果的結構響應誤差，達到拓撲優化結果與CAD、CAM 系統的有機結合的目的。通過算例證明該拓撲優化結果的幾何重構方法可行，算法具有便捷性和通用性。

2 幾何重構的流程

幾何重構的整體思路為用多條B 樣條曲線分段逼近拓撲優化結果的內外邊界，重構的流程總體分為兩大步：（1）拓撲優化結果的參數化；（2）輪廓邊界的分段與重構。整體流程，如圖2 所示。

圖2 考慮制造性的拓撲優化結果幾何重構流程Fig.2 CAD Model Reconstruction Flow Chart of Topology Optimization Results in Terms of Manufacturability

3 拓撲優化結果的參數化

3.1 拓撲優化結果二值化

在拓撲優化的計算過程中，設計變量即單元的密度值在0和1 之間變化，盡管在優化過程中引入了懲罰因子，但是拓撲優化結果仍存在中間密度單元，直觀表現為拓撲優化結果中的灰度單元。考慮到拓撲優化結果的可制造性，需要對拓撲優化結果進行二值化處理，將拓撲優化結果轉變為一個沒有中間密度單元的模型。拓撲優化結果二值化過程的重點在于選取一個合適的閾值T，使得二值化后的單元密度值滿足下面的關系：

式中：a（i，j）—拓撲優化結果中各單元的密度值；

t（i，j）—二值化后拓撲優化結果中各單元的密度值。

二值化的閾值T 選取原則為：二值化前后拓撲優化結果的單元密度和不變，該閾值選取原則的物理意義為二值化前后拓撲結構的質量不變，即二值化過程不改變結構的輕量化設計。

3.2 邊界識別與參數化

由于B 樣條曲線描述拓撲優化結果的內外邊界，所以需要識別拓撲優化結果的邊界輪廓，這是幾何重構模型參數化的重要一步。首先將二值化后的矩陣遍歷并提取出邊界密度矩陣，然后將矩陣元素的位置轉換為直角坐標保存。假如邊界矩陣A 的規模為m×n，矩陣單元A（i，j）的直角坐標為（j-0.5，m-i+0.5）。如下圖所示的拓撲優化局部輪廓，邊界密度矩陣的規模為3×3，則第一行第一列的單元A（1，1）可以轉換為直角坐標（0.5，2.5）。通過這種轉換方法，可以得到拓撲優化結果的參數化模型。

圖3 拓撲優化結果的參數化Fig.3 Parameterization of Topology Optimization Results

4 拓撲優化結果邊界分段與重構

4.1 邊界輪廓點的跟蹤與排序

在對離散邊界進行處理時，需要將拓撲優化結果的離散邊界點按順時針或者逆時針的順序保存，獲得閉合輪廓邊界點的走向信息以便做矢量分析。鏈碼（又稱為Freeman Code）是用曲線起始點的坐標和邊界點方向代碼來描述曲線或邊界的方法，常用的為8 向鏈碼，每個中心像素點周圍有八個像素點，分別用數字（0～7）表示，順時針每旋轉45°，鏈碼數值加一[8]。利用鏈碼對拓撲優化結果的輪廓邊界點進行跟蹤及排序，按照順時針或者逆時針的順序遍歷所有的輪廓邊界點得到輪廓邊界信息的鏈碼集合，按順序保存邊界點的坐標信息。

4.2 邊界輪廓分段點識別

拓撲優化結構輪廓不規則，輪廓曲率波動較大且存在曲率突變點，所以對拓撲優化結構邊界進行B 樣條擬合的時候，若只采用一條B 樣條曲線進行擬合，曲線不能夠充分逼近初始輪廓，故而會增大重構模型的結構響應誤差，所以拓撲優化結果輪廓的精確幾何分段是保證重構模型結構性能響應精確實現的重要因素。由于輪廓邊界離散曲率的精確性與曲率計算的支撐半徑有著很大關系，考慮到拓撲輪廓邊界的離散性和階梯狀的特點，并且在輪廓跟蹤排序步驟中獲得了結構邊界的鏈碼信息集合，故利用差分鏈碼代替輪廓離散曲率來表述輪廓的幾何信息。設輪廓邊界的鏈碼值為P1……Pi，為了避免輪廓的局部跳動帶來分段點的判斷失誤，首先應對輪廓鏈碼值進行加權平均處理，平均鏈碼的計算公式如下：

式中：n—由鏈碼的規模大小決定，一般取值范圍為3-6；Pi—邊界的鏈碼集合；Mi—平均鏈碼集合。

差分鏈碼可以從下面的公式計算得出：

拓撲優化結果的輪廓，其鏈碼集合為｛1 1 1 3 3 3｝，差分鏈碼集合為｛0 0 2 0 0｝，差分鏈碼圖顯示在第四個點處產生脈沖，所以該段輪廓的分段點為第四個邊界點，如圖4 所示。

圖4 輪廓邊界分段點的選取過程Fig.4 Sorting Process of Boundary Points

4.3 輪廓B 樣條擬合

曲線擬合的方式可以分為兩類：插值和逼近。采用插值的方式時，所創建的曲線必須精確地通過所有插值點。采用逼近的方式，曲線不必精確通過所有的點，只要在誤差范圍內逼近即可。由于拓撲優化結果的邊界點的數據規模不大，并且所有的邊界點不存在“壞點”，故采用B 樣條全局插值的方法重構輪廓邊界[9]。

插值點的選擇直接影響重構模型的幾何構型和結構性能響應，為了充分逼近初始拓撲優化結果，選擇均勻選取插值點策略，并且可以通過改變B 樣條曲線插值點的個數控制重構模型的結構響應誤差。

5 算例分析

拓撲優化的設計域，如圖5（a）所示。選用材料為Q235，材料的彈性模量E=210GPa，泊松比為0.3，結構厚度為6mm，體積約束比為54%，采用4 節點矩形單元，設計目標為結構的剛度最大，柔性最小，用結構的最大位移表征結構的響應值。最終得到的拓撲結果如圖5（b）所示。經計算，二值化的閾值T 為0.4381，拓撲優化結果的重構過程，如圖5 所示。

圖5 拓撲優化結果幾何重構的過程Fig.5 The CAD Reconstruction Process of Topology Optimization Results

將重構模型與拓撲優化初始結果導入有限元分析軟件中，計算結構的最大位移變形，計算結果，如表1 所示。通過表1 可知，重構模型與拓撲優化初始設計結果的結構響應平均誤差為3.86%，滿足幾何重構要求。結構受載時的位移分布云圖，如圖6所示。分析云圖可知兩個模型的位移分布一致。綜上，幾何重構模型在滿足邊界光滑的要求下，結構響應可以與拓撲優化結果保持一致。

表1 重構模型與拓撲優化結果的結構響應對比Tab.1 Comparison of Structural Responses Between the Reconstruction Model and the Topology Optimization Result

圖6 結構受載時的位移分布云圖Fig.6 Displacement Distribution Cloud Map of Structure Under Loading

6 結論

針對拓撲優化結果的可制造性問題，提出采用B 樣條曲線重構拓撲優化結果的邊界輪廓，使得重構模型邊界光滑，滿足機械制造要求，并且通過有限元分析得知，重構模型與拓撲優化結果在結構響應上基本保持一致。

上述研究僅提供一種拓撲優化結果幾何重構的思路，還需進一步研究主動控制重構模型結構響應誤差的方法，充實拓撲優化結果精確制造的理論。