一種摩擦離合器膜片彈簧載荷變形特性修正計算方法

胡汝凱，耿立冬，劉夫云

（1.桂林福達有限股份公司，廣西 桂林 541004；2.桂林電子科技大學機電工程學院，廣西 桂林 541004）

1 引言

膜片彈簧由彈簧鋼板沖制而成，分為碟簧和分離指兩個部分，由于其具有良好的非線性特性等諸多優良性能，廣泛應用于汽車離合器[1]。目前多以Almen 和Laszlo 提出的A-L 公式為理論基礎進行膜片彈簧的初步分析計算[2]。A-L 法是碟形彈簧的近似計算公式，在公式推導過程中存在著理論誤差。文獻[4-6]研究表明，用有限元法計算載荷變形曲線比A-L 法更接近于實測曲線，楊井銀、張鐵山分析發現分離指根部及窗孔結構是影響膜片彈簧載荷變形特性的關鍵因素[7]。

為了更精確的計算膜片彈簧的載荷特性曲線，分析了分離指結構的影響，建立了分離指影響系數函數，提出了用碟形彈簧的精確計算方法S-W 法代替A-L 法的載荷變形計算方法。

2 分離指對膜簧載荷特性的影響分析

對分離指部分進行分割，構建不同分離指長度的模型進行分析。分離指長度為0 的模型即是碟形彈簧，對比可知，分離指長度（5～32）mm 的膜片彈簧載荷變形曲線幾乎吻合，但是與碟形彈簧的載荷變形曲線相差較大，證明了對膜片彈簧載荷變形特性影響較大的是分離指根部及窗孔結構[7I]，如圖1 所示。

圖1 不同長度分離指的負荷特性對比Fig.1 Compare Load Characteristics of Different Separation Finger Lengths

膜片彈簧按窗孔形式分類，可分為長圓形孔膜片彈簧、方形孔膜片彈簧、梯形孔膜片彈簧。三種不同窗孔形式的膜片彈簧結構簡圖，如圖2 所示。

圖2 三種不同窗孔形式的膜片彈簧結構簡圖Fig.2 Three Kinds of Diaphragm Spring Structure Diagram with Different Window Hole

圖中：R—膜片彈簧外半徑；r—碟簧部分內半徑；h—碟簧部分內截錐高度；t—彈簧板厚度；L—外支承半徑；l—內支承半徑；r0—小端內半徑；re—窗孔內半徑；δ1—小端槽寬；δ2—窗孔槽寬；δ3—分指與內徑接觸寬度；r′—窗孔圓角半徑。

通過有限元仿真的方法，改變D 形孔寬度，即窗孔槽寬δ2，進行分析和試驗對比，得出膜片彈簧的峰谷值與D 形孔寬度呈負向線性關系[8]。無論是分離指數目n 或者是窗孔槽寬δ2的變化，改變的都是環比值c/a[3]。給出環比值的計算公式為：

式中：c—分離指與碟形部分連接處的總長度；a—分離指連接處碟形部分的周長。

采用環比值c/a 作為分離指結構對膜片彈簧的唯一影響因素并不合適。除環比值外，分離指數目n、窗孔圓角半徑r′同樣對膜片彈簧負荷特性產生影響。修正現有的膜片彈簧載荷變形計算公式時，進一步考慮分離指數目n、窗孔圓角半徑r′的影響，會得到更好的修正效果，長圓孔或方孔膜片彈簧的分離指根部結構參數有分離指數目n、窗孔槽寬δ2、窗孔圓角半徑r′。長圓孔與方孔膜簧的差別在于窗孔圓角半徑r′的大小。梯形孔膜片彈簧用分離指與內徑接觸寬度δ3取代窗孔槽寬δ2來描述窗孔結構。

同時對分離指根部相關結構參數進行轉換，得到三個轉換參數：指數倒數1/n、修正環比值c′/a、窗孔圓角半徑比值i。

1/n 是分離指數目的倒數。

c′/a 是過膜片彈簧原點且與窗孔圓角半徑相切的直線在碟簧內徑r 上截取的圓弧同內圓周的比值。計算公式為：

式中：a—長圓形、方形窗孔；b—梯形窗孔。

i 是當前圓角半徑同當前窗孔下最大圓角半徑的比值。計算公式為：

3 膜片彈簧分離指影響系數計算模型

3.1 分離指影響系數的提出及同轉換參數的關系

由膜片彈簧的載荷變形實測曲線可以看出膜片彈簧的載荷變形曲線是一條過原點的三次曲線，函數形式為：

式中：a1—一次項系數；a2—二次項系數；a3—三次項系數。

由于分離指部分的影響，具有相同碟簧部分結構參數的膜簧和碟形彈簧的載荷變形特性必然有所不同。函數式上的各次項系數也不相同。提出以膜片彈簧函數式各次項系數同碟形彈簧函數式各次項系數的比值，作為分離指影響系數。設I 是分離指影響系數，I1是一次項影響系數，I2是二次項影響系數，I3是三次項影響系數。

把載荷變形曲線上峰點、拐點、谷點的位移載荷代入式（4）或式（5）求解膜片彈簧或碟形彈簧的各次項系數，從而得到載荷變形特性的函數形式。即求解線性方程組：

方程組（7）可以用矩陣表示，令：

則方程組（7）可表示為：Λa=b

矩陣Λ 稱為線性方程組（7）的系數矩陣，a 是未知量列，b 是常數項列。

等式右邊的行列式是一個3 階范德蒙行列式。由于膜片彈簧的載荷變形曲線峰點、拐點、谷點的位移λ1、λ2、λ3均不等于零且互不相等，所以|ΛT|不等于零，ΛT可逆。ΛT的可逆矩陣（ΛT）-1存在，公式Λa=b 轉置并把ΛT 移到右邊，得：

由公式（8）可以得出，膜片彈簧得各項次數分別是峰值、拐點和谷值同（ΛT）-1各列元素的線性組合。由于峰值、拐點、和谷值同轉換參數由相同的規律，則膜片彈簧的各次項系數同轉換參數也應存在相同的規律。由式（6）可知，各次項分離指影響系數等于膜片彈簧的各次項系數除以一個蝶形彈簧的各次項系數，而蝶形彈簧各次項系數是常量，并不對各次項分離指影響系數的規律產生影響，所以確定各次項分離指影響系數同轉換參數亦存在相同的規律。

按照式（4）～式（7），可計算膜片彈簧的各次項影響系數。將三個轉換參數對載荷變形特性影響時的有限元仿真結果進行相關計算，求取各次項影響系數。對比觀察三個轉換參數改變后各次項影響系數的變化趨勢。

圖3 改變三個轉換參數后各次項分離指影響系數的變化趨勢Fig.3 After Changing the Three Conversion Parameters，the Change Trend of the all Items Separation Finger Influence Coefficient

從圖3 可以看出，改變指數倒數1/n，各次項分離影響系數趨近于正線性關系。增加修正環比值c′/a 和窗孔圓角半徑比值i，各次項影響系數增大，增大速率變大，趨近于二次關系。可以得出峰值、拐點載荷和谷值同三個轉換參數的變化規律同樣適用于各次項影響系數同三個轉換參數的關系。為了建立各次項影響系數同三個轉換參數的函數關系式，設計試驗，采取正交試驗的方法。正交試驗利用正交表在遍歷實驗中選出一部分“均勻”和“整齊”的點進行試驗并進行數據分析，是多因素試驗的一種方法[9]。在實際生產中，膜片彈簧的分離指數目一般設計為12，15，16，18，21，24指；對實際結構參數經過轉換，修正環比值大致控制在0.4-0.8 的范圍內；窗孔圓角半徑比值范圍可以看作0-1。因素就是三個轉換參數—指數倒數1/n、修正環比值c′/a 和窗孔圓角半徑比值i。每個因素可根據實際情況選取五個水平。按三因素五水平可挑選L25（56）型正交表來進行試驗，L25（56）型正交表只需要做25 次試驗，能在反應全面情況的同時，大量減少試驗次數，采取有限元仿真的辦法來模擬試驗。

3.2 分離指影響系數回歸模型的建立及計算

回歸分析法通過建立統計模型，研究變量間相互關系的密切程度、結構狀態、模型預測，是一種研究客觀事物各變量之間的關系的統計方法[10]。

已知膜片彈簧的各次項影響系數于指數倒數呈線性關系，于修正環比值、窗孔圓角半徑壁紙呈二次關系。可以用一個三元二次回歸模型擬合各次項影響系數同三個轉換參數的函數關系式。用x 代替指數倒數1/n，用y 代替修正環比值c′/a，用z 代替窗孔圓角半徑比值i。

根據膜片彈簧的幾何意義，對模型進行簡化。若分離指的數目趨近于無窮大或者修正環比值等于零，膜片彈簧就無限與接近碟簧，分離指部分不影響膜簧的載荷特性，則模型中的分離指部分不存在，常數項等于1，而窗孔圓角半徑也依附于分離指數目的存在。由上述可將模型簡化為：

按式（10）進行擬合，用逐步回歸得各次項影響系數最終的回歸方程為

將x，y，z 替換為三個轉換參數1/n、c′/a、i，擬合得到的各次項影響系數的函數式為：

4 膜片彈簧分離指影響系數的計算模型

4.1 碟形彈簧精確計算方法S-W 法

S-W 法由美國亞利桑那大學土木工程系副教授施密特（R.Schmidt）和溫柏納（D.A.Wempner）于1959 年提出，是碟形彈簧的一種精確計算方法[1]。根據分析碟形彈簧的徑向彎曲應力遠小于切向應力，因此可以假設經向彎曲應力為零。在此假設的基礎上，S-W 法應用馮·卡門大變形圓錐薄殼微分方程得到碟形彈簧的精確解法，再能量法的瑞利里茲法，取?U/?λ=0，可求得近似解法。所得計算公式為：

將S-W 法、A-L 法同碟形彈簧的實測曲線進行比較，S-W法的計算結果比A-L 法更接近實測曲線[1]，而且隨著計算機技術進步，S-W 法計算不便的缺點也得到了解決，S-W 法的公式可以表示為（4）的形式，上一章建立了離指影響系數同三個轉換參數的函數關系式（10），把影響系數函數式添加到S-W 法公式中進行修正從而得到包含分離指結構參數的膜簧負荷計算公式。

4.2 試驗內容及數據處理

試驗時選取了梯形、方形、長圓形三種不同窗形的膜片彈簧進行驗證，選取A 型、B 型、C 型三種膜簧各15 件，盡量消除形狀不規則影響。

在膜片彈簧凸面上依次標號（1～45）。使用游標卡尺和游標角度尺測量每一件膜片彈簧的結構參數，每個參數測量（5～6）次，并記錄數據。把膜片彈簧放置在膜片彈簧負荷特性檢測機的下模定位芯軸上。操縱壓力機對膜片彈簧進行加載，大端變形達到一定行程后進行卸載。膜片彈簧測試完畢后，將保存在壓力機內的測試數據導出，將測試前測量得到的三種膜簧的結構參數進行轉換，計算外半徑R、碟簧內半徑r、內錐高h，轉換公式如下：

按式（2）和（3），計算膜簧的三個轉換參數：指數倒數1/n、修正環比值c′/a、窗孔圓角半徑比值i。如表1 所示。

整理B 型、C 型、D 型三種型號膜片彈簧的有效壓力測試數據，通過對各型號膜片彈簧加載卸載時的峰點載荷位移、谷點載荷位移相加求均值的辦法，得到剔除支承面摩擦力影響的峰點載荷位移值和谷點載荷位移值，如表2 所示。

表1 三種型號膜簧的結構參數和轉換參數Tab.1 Structural Parameters and Conversion Parameters of Three Kinds of Membrane Springs

表2 剔除摩擦力影響的峰谷點載荷位移值Tab.2 Without the Influence of Friction，the Load Displacement of Peak and Valley Point

4.3 對比驗證

分別用A-L 法、有限元法和這里的新方法計算A 型、B 型、C型三種膜簧的載荷變形曲線，處理后的試驗曲線放入同一坐標系內進行對比，如圖4 所示。

圖4 三種型號膜簧多種載荷特性計算方法的比較Fig.4 Comparison of Calculation Methods for Various Load Characteristics of Three Kinds of Membrane Springs

將A-L 法、有限元法、新方法計算三種膜簧的峰谷值同實測值進行比較，如表3 所示。由圖4 和表3 可以看出，A-L 法的載荷變形曲線整體偏低，谷峰值偏低，誤差較大，峰值誤差值最高達到10.14%，谷值誤差最高達到17.55%。有限元法的載荷變形曲線在達到拐點前同實測曲線有較好的吻合程度，但是離開第一個拐點后載荷變形曲線下降較快，峰值誤差最高1.47%，谷值誤差時三者最大的，最高達到19.9%。新方法的載荷曲線整體比較吻合，在第一個拐點后有所下降，但是下降幅度較小，峰值誤差最高達到3.24%，谷值誤差最高達到8.89%。

表3 三種方法的峰谷值對比Tab.3 Peak-to-Valley Point Comparison of Three Methods

5 結語

（1）對分離指根部相關結果參數進行轉換，得到三個轉換參數：指數倒數1/n、修正環比值c′/a、窗孔圓角半徑比值i。（2）用分離指影響系數表達三個轉換參數對膜片彈簧的載荷曲線影響，并用回歸分析法得出各次項影響系數的函數式。（3）把影響系數函數式添加到S-W 法公式中進行修正從而得到包含分離指結構參數的膜片彈簧負荷計算公式。（4）通過試驗驗證，新方法計算峰值誤差在3.5%以內，谷值誤差在9%以內，新方法計算膜片彈簧的載荷變形特性，具有很高的精度，可以滿足工程應用的需要。