模糊分?jǐn)?shù)階滑模控制的BLDCM 控制系統(tǒng)

金 鵬

（遼寧工程職業(yè)學(xué)院，遼寧 鐵嶺 112008）

1 引言

無刷直流電動機(jī)（BLDCM）具有調(diào)速快、起動轉(zhuǎn)矩大、運(yùn)行穩(wěn)、高精度等優(yōu)點(diǎn)。因此，近年來在汽車、航空、工業(yè)工控、機(jī)器人、家用電器等行業(yè)應(yīng)用得越來越廣泛[1]。但BLDCM 是一個多變量、非線性、強(qiáng)耦合、時變的系統(tǒng)[1]，難以建立精確模型，普通PID 控制或改進(jìn)的智能PID 控制都必須以精確建模為基礎(chǔ)，并且智能混合型PID 算法往往編程復(fù)雜、參數(shù)調(diào)節(jié)難度大，在實(shí)際的工程應(yīng)用中，往往得不到廣泛推廣。

滑模控制（Sliding model control，SMC）設(shè)計(jì)簡單、調(diào)節(jié)參數(shù)少，能夠克服非線性系統(tǒng)的不確定性，對外界擾動具有良好的魯棒性和完全的自適應(yīng)性，近年來在電機(jī)控制中得到廣泛應(yīng)用[2]。但滑模控制最大的缺點(diǎn)就是控制器的輸出具有抖振、穩(wěn)態(tài)誤差較大。為削弱輸出抖振，一些學(xué)者提出改進(jìn)算法，如Terminal 滑模控制、模糊滑模控制、狀態(tài)觀測器方法、高階滑模控制等。但這些算法都存在著各種不足，如Terminal 滑模控制必須參數(shù)精確，否則容易出現(xiàn)奇異問題[2]；模糊滑模控制無需設(shè)計(jì)精確的控制率，但控制精度不高[2]；狀態(tài)觀測器在減弱抖振的同時，也降低了系統(tǒng)的魯棒性[3-4]；高階滑模控制器的設(shè)計(jì)較為復(fù)雜，不便于推廣應(yīng)用[5-6]。

基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)傳遞能量緩慢及收斂特性，提出設(shè)計(jì)一種模糊分?jǐn)?shù)階滑模控制器，通過在滑模切換函數(shù)中加入分?jǐn)?shù)階微積分算子，減弱控制器的輸出抖振，并利用模糊算法對滑模切換項(xiàng)ε 進(jìn)行在線自整定。仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果都證明所提方法不但使系統(tǒng)具備很強(qiáng)的速度跟蹤性、魯棒性，而且可以有效削弱抖振，提高了系統(tǒng)的動靜態(tài)性能。

2 BLDCM 數(shù)學(xué)模型

如果BLDCM 處于兩相導(dǎo)通的星型三相六狀態(tài)下，電機(jī)的反電動勢波形為近似梯形波，不計(jì)電機(jī)損耗及電樞反應(yīng)對氣隙磁場的影響，三相繞組完全對稱，則BLDCM 三相繞組的電壓平衡方程可以表示為[7]：

式中：ua、ub、uc—繞組各相電壓；ia、ib、ic—相電壓分別為繞組各相電流；ea、eb、ec—繞組各向反電動勢；r—繞組各向電阻；L、M—繞組各相自感和每兩相繞組間的互感；D—微分算子[7]。

若將整個無刷直流電機(jī)看作一個整體，則BLDCM 的電壓平衡方程可簡化為[7]：

式中：u—電樞電壓；i—電樞電流；r0—相電阻；L0—相電感；ke—反電動勢系數(shù)；ω—電機(jī)轉(zhuǎn)速。由于電機(jī)兩相同時導(dǎo)通，所以r0=2r，L0=2（L-M）［7］。

轉(zhuǎn)矩平衡方程為[7]：

式中：Te—電磁轉(zhuǎn)矩；TL—負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J—轉(zhuǎn)動慣量；B—粘滯摩擦系數(shù)；kt—轉(zhuǎn)矩系數(shù)[7]。

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)變量為：

其中，由式（2）～式（5）得系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

其中，a=（r0J+BL0）/L0J，b=（Br0+kekt）/L0J，c=kt/L0J，d=（Br0+kekt）ωr/L0J+r0Tl/L0J。

3 模糊分?jǐn)?shù)階滑模控制器設(shè)計(jì)

3.1 分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)

由于滑模控制器難以克服抖振的缺點(diǎn)，其產(chǎn)生的抖振是由控制作用在滑模面的高頻高速切換引起的。對其進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑模控制器，設(shè)計(jì)分為兩個步驟，即分?jǐn)?shù)階切換函數(shù)的選取和控制率的設(shè)計(jì)。利用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)能量傳遞緩慢并收斂的特性，降低系統(tǒng)狀態(tài)變量在滑模面的切換頻率及切換速度，從而抑制抖振。

對整數(shù)階切換函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，加入微積分算子，在忽略BLDCM 系統(tǒng)參數(shù)攝動及負(fù)載變化的情況下，設(shè)計(jì)切換函數(shù)為：

式中：λ—分?jǐn)?shù)階微積分階次；R（λ）—λ 的實(shí)部。

選取指數(shù)趨近率為：

其中：k＞0，ε＞0；sgn（·）為符號函數(shù)，定義如下：

由式（6）、式（7）、式（9）設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑模控制器的控制率為：

可見，式（11）的控制率中的符號函數(shù)經(jīng)分?jǐn)?shù)階微積分后，弱化了在（-1）和1 間的頻繁快速切換，使得控制器輸出波動更小，進(jìn)而系統(tǒng)的控制精度和靈活性更高。

3.2 模糊分?jǐn)?shù)階滑模控制器設(shè)計(jì)

由于滑模控制器的滑模切換項(xiàng)ε 的大小影響系統(tǒng)的抖振幅值，ε 過大，系統(tǒng)抖振較大，ε 過小，系統(tǒng)到到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時間過長[8]。如果將ε 設(shè)為定值，很難適應(yīng)BLDCM 系統(tǒng)的非線性、實(shí)時性及突發(fā)擾動。這里，設(shè)計(jì)一種模糊控制算法來自適應(yīng)整定ε。模糊控制算法以滑模面s 及其導(dǎo)數(shù)s˙作為模糊控制的輸入，模糊輸出△u的絕對值作為滑模切換項(xiàng)ε，即：

式中：kj—第j 個論域的中心值[8]。

表1 模糊控制規(guī)則表Tab.1 Fuzzy Control Rule Table

圖1 隸屬度函數(shù)Fig.1 Membership Function

4 分?jǐn)?shù)階滑模控制器穩(wěn)定性分析

從前面分析可以看出，采用的矢量控制算法優(yōu)點(diǎn)是無需推導(dǎo)系統(tǒng)精確模型，只需得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程，控制器的控制率隨狀態(tài)方程參數(shù)的變化自適應(yīng)調(diào)節(jié)，具有較強(qiáng)魯棒性。但控制器成立的必要條件是其穩(wěn)定性成立。滑模控制的系統(tǒng)狀態(tài)分為兩部分，到達(dá)段和滑模段[8-9]，其穩(wěn)定性分析也由兩部分組成，即滑模逼近條件分析和滑模存在條件分析。

4.1 滑模逼近條件

為驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階滑模控制器的穩(wěn)定性，選Lyapunov 函數(shù)為：

4.2 滑模存在條件

當(dāng)系統(tǒng)處于滑模狀態(tài)時，滿足s=0，則：

由文獻(xiàn)[10]可知，c＞0，分?jǐn)?shù)階微分方程（16）的解收斂到零，即速度偏差e 收斂于零，系統(tǒng)滿足滑模存在條件。

5 仿真及實(shí)驗(yàn)

5.1 仿真分析

為驗(yàn)證方法的有效性，分別將模糊分?jǐn)?shù)階滑模控制策略和模糊整數(shù)階滑模控制策略應(yīng)用于速度控制器，并通過Matlab 進(jìn)行仿真對比分析，電機(jī)參數(shù)，如表2 所示。

表2 電機(jī)參數(shù)Tab.2 Motor Parameters

整數(shù)階滑模控制器采用的切換函數(shù)和控制率分別為分?jǐn)?shù)階滑模控制器的特例（λ=1）。

仿真分析如下：

5.1.1 跟蹤性對比

設(shè)定速度為nd=1000sin（5π）時，分?jǐn)?shù)階滑模控制器和整數(shù)階滑模控制器的轉(zhuǎn)速曲線，如圖2、圖3 所示。可以看出，電機(jī)啟動時，兩種控制器都存在不同程度的速度偏差，但分?jǐn)?shù)階控制器偏差更小，并能在更短時間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定跟蹤。

圖2 分?jǐn)?shù)階控制器轉(zhuǎn)速跟蹤曲線Fig.2 Speed Tracking Curve of Fractional Order Controller

圖3 整數(shù)階控制器轉(zhuǎn)速跟蹤曲線Fig.3 Speed Tracking Curve of Integer Order Controller

5.1.2 魯棒性對比

當(dāng)設(shè)定速度信號為階躍信號step=2000 時，在0.2s 突加負(fù)載0.3N·m，分?jǐn)?shù)階滑模控制器和整數(shù)階滑模控制器的速度響應(yīng)對比曲線，如圖4，圖5 所示。電機(jī)空載運(yùn)行時，分?jǐn)?shù)階滑模控制器和整數(shù)階滑模控制器的切換函數(shù)曲線。

圖4 兩種滑模控制器的速度響應(yīng)曲線Fig.4 Speed Response Curves of Two Sliding Mode Controllers

圖5 兩種滑模控制器的的切換函數(shù)曲線Fig.5 Switching Function Curves of Two Sliding Mode Controllers

分?jǐn)?shù)階滑模控制器動態(tài)響應(yīng)更快，抗干擾能力更強(qiáng)，如圖4所示。分?jǐn)?shù)階滑模控制器下，系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面的時間更短，并且在滑模面附近的抖振幅值更小、抖振頻率更小，更有效地削弱了系統(tǒng)抖振，如圖5 所示。

5.2 實(shí)驗(yàn)分析

實(shí)驗(yàn)測試采用TMS320F28335 電機(jī)專用DSP 處理器作為無刷直流電動機(jī)的主控制器。實(shí)驗(yàn)時，給定速度為500r/min。施加負(fù)載轉(zhuǎn)矩為0.2N·m。為與前面的仿真分析結(jié)果作直觀對比，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以十進(jìn)制導(dǎo)入Matlab，模糊分?jǐn)?shù)階滑模控制器和模糊整數(shù)階滑模控制器實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖6～圖7 所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果再次證明分?jǐn)?shù)階滑模控制系統(tǒng)具有更優(yōu)越的動靜態(tài)性能。

圖6 分?jǐn)?shù)階滑模控制器速度響應(yīng)Fig.6 Speed Response of Fractional Order Sliding Mode Controller

圖7 整數(shù)階滑模控制器速度響應(yīng)Fig.7 Speed Response of Integer Order Sliding Mode Controller

6 結(jié)論

針對無刷直流電機(jī)整數(shù)階滑膜控制器存在的穩(wěn)態(tài)誤差過大、精度不高等問題，提出一種模糊分?jǐn)?shù)階滑膜控制策略。首先，設(shè)計(jì)了基于分?jǐn)?shù)階微積分的滑模切換函數(shù)及滑模控制器；其次，利用模糊算法對滑模切換項(xiàng)ε 進(jìn)行在線自整定，并通過Lyapunov 穩(wěn)定性原理和分?jǐn)?shù)階微積分理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；最后，通過仿真及實(shí)驗(yàn)證明分?jǐn)?shù)階滑模控制器具有更好的速度跟蹤性、魯棒性，更小的穩(wěn)態(tài)誤差。實(shí)驗(yàn)還表明，引入分?jǐn)?shù)階微積分可以大大減弱滑模控制造成的抖振。