無干涉雙曲面加工范圍研究

黃志東，谷 泉，張 雷

（1.遼寧科技學院機械工程學院，遼寧 本溪 117004；2.吉林大學機械科學與工程學院，吉林 長春 130025）

1 引言

隨著數控技術與加工技術的飛速發展，各國學者對復雜曲面的制造越來越重視，對光學非球面透鏡和葉片的應用也大幅度增加[1]。軸對稱非球面具有關于軸線的旋轉對稱性，在工程應用中扮演十分重要的角色。例如，用一個或幾個非球面元件代替多個球面元件，不僅可以達到矯正像差、簡化裝置結構，而且能夠降低成本和減輕質量的目的[2]。文獻[3-4]針對葉片加工提出了干涉檢驗規劃算法。文獻[5]提出一種軸對稱非球面的數學描述。文獻[6]將NURBS 建模方法應用到非球面。軸對稱非球面的加工方法主要有平行磨削法[7-8]和圓弧包絡磨削法[9]，文獻[10]開發了一種雙圓弧插補算法來加工非球面。文獻[11]提出將六軸高精密機床用于加工非球面光學鏡面。坐標測量法、干涉法和激光掃描法是非球面的主要測量方法[12]，此外，如何測量大型光學非球面[13]以及如何實現在線誤差補償[14]等問題也獲得了一定的成果。

文獻[15]推導了加工雙曲面不發生干涉的參數準則，如圖1 所示。切削角度α 與雙曲面子午截面曲線的偏心率平方e2的函數關系滿足第1 區域，加工過程中不會發生干涉現象；第2 區域表示干涉現象可能發生在工具與雙曲面的右側；第3 區域表示干涉現象可能發生在工具與雙曲面的左右兩側；第4 區域則表示干涉現象可能發生在工具與雙曲面的左側。

然而，當α 與e2的函數關系位于第2、3、4 區域內，干涉現象與雙曲面的口徑大小是否存在一定的關系呢？如果存在，那么這個雙曲面口徑范圍的極限值將變得意義重大。針對上述問題，建立加工雙曲面的數學模型，分析加工雙曲面的參數特征，推導刀具位于鉛垂方向的位置、雙曲面最大矢高、最大口徑等關鍵技術指標的變化規律，獲得了保證無干涉現象的雙曲面加工范圍。為加工雙曲面的參數選取提供參考。

圖1 α-e2 曲線Fig.1 The α-e2 Curve

2 加工雙曲面的數學模型

加工雙曲面的示意圖，如圖2 所示。

圖2 雙曲面加工示意圖Fig.2 The Diagram for Machining Hyperboloidal Surface

刀具在加工雙曲面的過程中，共有三種姿態：右傾、左傾和鉛垂方向。

2.1 刀具右傾

軸對稱非球面的子午截面曲線為二次曲線。建立直角坐標系，如圖2（a）所示。將原點設在二次曲線的頂點O1，設Y 軸正方向與水平向右方向重合，設Z 軸正方向與豎直向上方向重合。過雙曲線上的點O2（y2，z2），作雙曲線的切線l0，斜率為k0。直線l2與刀具軸線重合，O3位于刀頭中心，連接O2O3，作直線l1。α 為l1與l2的夾角。α 不同，對應的刀具切削點位置也不同。為了獲得更好的表面質量，在雙曲面的加工過程中，刀具切削點位置應盡量保持不變，即切削角α 不變。設刀具與工件的碰撞接觸點為O4，刀具擺角為γ1。設刀具軸線為l2，過點O4向l2作垂線l4，垂足為O5。

根據坐標變換理論，O1坐標系可通過O1→O2（O′2）→O3→O5變換到O5坐標系。于是，可推導出變換矩陣［1T5］1為：

同時，O1坐標系也可通過O1→O4→O5變換到O5坐標系，從而得到變換矩陣為［1T5］2為：

根據式（1）和式（2），由［1T5］1=［1T5］2可得：

二次曲面子午截面曲線方程[16]為：

式中：ρ—曲線頂點的曲率半徑；e2—曲線的偏心率平方。

因此，曲線上點O2和點O4的坐標滿足：

由于直線l0為雙曲線上過點O2的切線，由式（7）可推導出其斜率k0為：

根據式（8）和圖2（a）中角β 的幾何意義，可得：

在式（3）、式（5）、式（6）和式（9）中，共有6 個方程，而未知量有11 個，分別為ρ、α、β、γ1、e、y2、z2、y4、z4、r、l。當刀具和工件參數以及加工姿態確定時，r、ρ、e、α 為常量，此時有7 個未知量。因此，可明確β、γ1、l、y2、z2、y4、z4之間的函數關系。

2.2 刀具左傾

與2.1 部分的推導方法相同，當刀具向左側傾斜時可得如下六個方程：

3 雙曲面加工的最大口徑和最大矢高

由文獻[15]中的圖3 可知，直線l0的斜率k0存在一個極限值k0max。當k2大于k0max的時候，干涉現象不會發生，而當k2小于k0max的時候，干涉現象可能發生。因此需要先找到k2=k0max的切削點位置。

3.1 k2=k0max時的切削點位置

由文獻[15]中的式（5）、式（6）、式（7）和式（10）可得：

根據式（12），可推導出加工不同偏心率的雙曲面時，切削點y2與切削角α 之間的映射關系，如圖3 所示。

圖3 y2-α 曲線Fig.3 The y2-α Curve

3.2 右傾時雙曲面最大口徑和最大矢高

整理式（3）可得：

將式（13）和式（14）作比，可得：

整理得：

將式（19）帶入式（6），可得：

整理式（20）可得：

解得：

根據式（19）和式（22）可計算出加工不同偏心率的雙曲面時，干涉碰撞點O4與切削角α 之間的映射關系。當y4取最小值時，加工雙曲面的口徑取最大值RR；當z4取最小值時，加工雙曲面的矢高取最大值HR。

3.3 刀具左傾時雙曲面最大口徑和最大矢高

由圖2 可知，在刀具左傾的情況下，當加工雙曲面底部位置時，干涉碰撞最危險。故當y2取0 時，對應點O4即為要找的那個點，此時的y4對應了加工雙曲面口徑的最大值RL，而z4對應了加工雙曲面矢高的最大值HL。

4 雙曲面最大口徑和最大矢高

選擇不同的刀具，加工不同的雙曲面，min｛RR，RL｝和min｛HR，HL｝決定了所能加工的雙曲面的最大口徑R 和最大矢高H，其變化規律，如圖4～圖21 所示。

圖4 R-α（r=0.2，ρ=1）Fig.4 R-α（r=0.2，ρ=1）

圖5 H-α（r=0.2，ρ=1）Fig.5 H-α（r=0.2，ρ=1）

圖6 R-α（r=0.5，ρ=1）Fig.6 R-α（r=0.5，ρ=1）

圖7 H-α（r=0.5，ρ=1）Fig.7 H-α（r=0.5，ρ=1）

圖8 R-α（r=0.8，ρ=1）Fig.8 R-α（r=0.8，ρ=1）

圖9 H-α（r=0.8，ρ=1）Fig.9 H-α（r=0.8，ρ=1）

圖10 R-α（r=0.5，ρ=2）Fig.10 R-α（r=0.5，ρ=2）

圖11 H-α（r=0.5，ρ=2）Fig.11 H-α（r=0.5，ρ=2）

圖12 R-α（r=1.0，ρ=2）Fig.12 R-α（r=1.0，ρ=2）

圖13 H-α（r=1.0，ρ=2）Fig.13 H-α（r=1.0，ρ=2）

圖14 R-α（r=1.5，ρ=2）Fig.14 R-α（r=1.5，ρ=2）

圖15 H-α（r=1.5，ρ=2）Fig.15 H-α（r=1.5，ρ=2）

圖16 R-α（r=1.5，ρ=3）Fig.16 R-α（r=1.5，ρ=3）

圖17 H-α（r=1.5，ρ=3）Fig.17 H-α（r=1.5，ρ=3）

圖18 R-α（r=2.0，ρ=3）Fig.18 R-α（r=2.0，ρ=3）

圖19 H-α（r=2.0，ρ=3）Fig.19 H-α（r=2.0，ρ=3）

圖20 R-α（r=2.5，ρ=3）Fig.20 R-α（r=2.5，ρ=3）

圖21 H-α（r=2.5，ρ=3）Fig.21 H-α（r=2.5，ρ=3）

由圖4～圖21 可知：

（1）如果ρ 取定值，H 和R 均隨著r 的增大而逐漸增大；

（2）如果r 取定值，H 和R 均隨著ρ 的增大而逐漸增大；

（3）如果ρ 和r 取定值，H 和R 均隨著e2的增大而逐漸增大；

（4）如果ρ、r 和e2取定值，H 和R 隨著α 的增大而先增大后減小。

5 結論

（1）采用坐標變換方法，建立加工雙曲面的數學模型，分析工件參數、刀具參數、刀具切削狀態參數以及機床構型參數之間的函數關系。

（2）通過干涉碰撞點與切削角之間的映射關系，推導刀具位于鉛垂方向的位置、雙曲面最大矢高、最大口徑等關鍵技術指標的變化規律。當干涉碰撞點橫坐標取最小值時，加工雙曲面的口徑取最大值；當干涉碰撞點縱坐標取最小值時，加工雙曲面的矢高取最大值。

（3）獲得了保證無干涉現象的雙曲面加工范圍，并分析了其變化規律。當刀具和工件參數不變時，雙曲面無干涉加工范圍隨切削角度的增大而先增大后減小。

（4）由于篇幅所限，對于雙曲面無干涉加工范圍的實際加工驗證與分析等研究成果獎另文發表。