帶氣膜阻尼懸臂平板的振動特性研究

張 鴻，崔東澤，邢海龍，王俊昌

（中國民航大學中歐航空工程師學院，天津300300）

1 引言

航空發動機葉片振動所導致的高周疲勞是造成航空發動機失效的關鍵因素之一，研究航空發動機的抑振技術不僅能夠提高航空發動機的安全性，而且有助于延長航空發動機的維修周期，降低航空發動機的維護成本。

目前，能夠有效抑制航空發動機葉片振動的阻尼技術共有四種[1-2]，分別是：干摩擦阻尼，約束層阻尼，沖擊阻尼和氣膜阻尼。其中，干摩擦阻尼和約束層阻尼為傳統的被動式阻尼技術，目前應用廣泛但各有缺陷：干摩擦阻尼技術成熟，但適用于較低階模態；約束層阻尼通過設計能夠有效控制不同頻率內的振動，但在高離心力載荷下很難適用。沖擊阻尼和氣膜阻尼為先進的被動式阻尼技術，其中沖擊阻尼抑振機理復雜，難以實現；而氣膜阻尼結構簡單、易于加工、且能對多階振動進行有效抑制，被認為是在航空發動機葉片抑振方面具有應用前景的阻尼技術。

文獻[3]通過氣膜內流體運動壓力的分布假設建立了粘性流體運動的氣膜阻尼理論模型，著重研究了氣膜壓力和氣膜厚度的對阻尼特性的影響；文獻[4-8]建立了帶氣膜阻尼平板模型，并基于有限元對氣膜阻尼系統（AFDS）的振動特性進行分析和研究；文獻[9]基于平板振動理論建立了可壓縮流體的AFDS 簡化平板模型，文獻[10]基于該模型推導了氣膜阻尼結構的等效剛度系數和等效阻尼系數，并分析了氣膜阻尼關鍵結構參數對抑振效果的影響。

國內外針對氣膜阻尼的阻尼特性開展了大量研究，但對氣膜阻尼的機理研究不夠充分，尤其是基于機理建立的氣膜阻尼理論模型研究不足。基于國內外現階段研究成果，將氣膜內氣體的流動分別等效為牛頓流體的流動和泊肅葉流體的流動，建立了帶氣膜阻尼懸臂平板的振動模型，并推導出氣膜阻尼系統的阻尼比方程。通過氣膜阻尼能量耗散機理研究氣膜阻尼結構參數對平板振動特性的影響，為航空發動機風扇葉片氣膜阻尼結構設計提供理論依據和技術支撐。

2 帶氣膜阻尼的平板模型

航空發動機風扇葉片薄而長，對其進行振動特性分析時，可將風扇葉片等效為一端固支一端自由的懸臂梁或具有懸臂粱相似振動模態的薄板。帶氣膜阻尼的懸臂平板模型，如圖1 所示。其結構包括平板、吸振薄板以及平板和吸振薄板之間的氣膜。圖中：2L 和2d—平板的長度和寬度；H—平板的厚度；2l 和h—氣膜的長度和厚度，寬度與平板寬度相同，平板的厚度H 和氣膜的厚度h 都遠小于相應的長度和寬度，圖中單位均為mm。計算時，假設懸臂平板左端固支，右端自由。

圖1 帶氣膜阻尼的平板模型Fig.1 Schematic Diagram of the AFD Structure

3 氣膜阻尼運動模型

帶氣膜阻尼平板模型含有多種振動能量耗散機制，如圖1所示。（1）當葉片受氣動力激勵時，吸振薄板隨平板振動，擠壓氣膜產生振動，以動能的形式耗散平板振動能量；（2）氣膜內流體流動，當流體受擠壓流經氣膜壁面時，粘性剪切力消耗葉片振動能量；（3）氣膜內外流體的流動，當帶氣膜阻尼平板振動時，由于氣膜內外的壓力差導致流體吸進或排出氣膜，通過做功的形式耗散振動能量。因此，建立外激勵所導致的氣膜運動模型是建立氣膜阻尼力學模型的前提。

3.1 氣膜內流體的相對位移

假設圖1 模型中氣膜開口處的壓力為常值，氣膜內外沒有能量交換，因此在氣膜內選取流體運動的控制體[11]，如圖2 所示。圖1 中平板受激振力作用產生振動，假設n 和m 分別為吸振薄板的振動模態數，氣膜由于吸振薄板振動引起的相對位移如式（1）所示：

式中：D0—吸振薄板最大相對位移，單位為mm；

ω—吸振薄板振動頻率，單位為Hz；

t—時間，單位為s；

（x，y）—氣膜中流體任意點的位置。

圖2 氣膜內流體的控制體Fig.2 Control Volume of the Fluid in the Air Film

3.2 氣膜內流體的體積流量

由于氣膜厚度遠小于氣膜長度和寬度，因此圖2 中，假設x方向和y 方向為流體流動的方向，z 方向流動相對x 方向和y 方向忽略不計，因此進入控制體的流體體積流量為：

假設氣膜內流體運動滿足連續方程，由式（1）和式（2）可得x方向流體體積流量方程：

3.3 氣膜內流體的運動速度分布

假設氣膜內的流體具有牛頓流體的運動特性，流體運動的N-S 方程為：

式中：κ=-jρ0ω/μ—氣膜內流體的復粘性系數。

在厚度方向上對式（7）進行積分可得穿過該截面的流體運動速度：

假設沿著x 軸方向運動的流體具有泊肅葉流動特性，因此z軸方向上流體的速度呈拋物線型分布：

3.4 氣膜內流體的壓強分布

對于牛頓流體，假設壓強p 沿氣膜厚度方向（-h/2＜z＜h/2）是一致的。由方程（5）和式（6）可得密度、壓力和相對位移之間的關系：

假設氣膜內的流體為可壓縮粘性流體，為使方程封閉，假設流體處于絕熱狀態，引入狀態方程并用K 來表示復粘性系數κ和氣膜厚度h 的關系[3]：

則流體的壓強分布方程為：

式中：γ—流體比熱容。

假設圖2 中y 方向流體位移一致且忽略邊界處壓力的變化，由式（10）和式（12）可得牛頓流體x 方向的壓力分布：

式中：rn—cos（rl）cosh（rl）=1 的n階正根；qn—x 方向上的波數，由式（14）給出qn的定義[12-13]：

對于泊肅葉流體，假設氣膜是一個復雜的彈簧，實部主要來自于可壓縮性，虛部主要來自于粘性[12]，可以得到泊肅葉流體x方向的壓力分布。

3.5 氣膜阻尼平板內部能量耗散

設C 是氣膜內部的每個振動周期的能量耗散：

對于牛頓流體，流體中粘性剪切力為主要的能量耗散方式，將式（8）帶入式（16）得氣膜阻尼內部能量耗散方程：

對于泊肅葉流體，將式（9）帶入式（16）得到氣膜阻尼內部的能量耗散方程[13]：

兩種流體模型得到的能量耗散比值為：

為方便計算，引入阻尼比F（ω）：

4 帶氣膜阻尼平板的振動特性

大量研究表明：當吸振薄板與平板固有頻率接近時，抑振效果明顯[14]，因此這里在計算時，假設吸振薄板與平板固有頻率相同。

4.1 不同流體模型的影響

氣膜內流體分別采用牛頓流體和泊肅葉流體的計算結果，如圖3 所示。由式（19）可得泊肅葉流體和牛頓流體計算得到的能量耗散的比值，如表1 所示。由圖3 和表1 可知，無論采用哪種流體，在相同平板振動頻率下（f＞300Hz），阻尼比隨氣膜厚度的增加而減少并最終趨于穩定。與牛頓流體相比，泊肅葉流體在計算振動能量耗散時，不僅考慮流體與板之間粘性剪切力引起的能量耗散，而且考慮了流體內部相互作用引起的能量耗散，因此在相同平板振動頻率和相同氣膜厚度的條件下，由泊肅葉流體流體計算得到的阻尼比要大于由牛頓流體得到的阻尼比。

圖3 基于不同流體模型的計算結果對比Fig.3 Comparisons of Results Based on Different Fluid Models

表1 兩種模型的能量耗散對比Tab.1 Energy Dissipation Comparison of Two Models

4.2 氣膜厚度的影響

不同平板振動頻率（f＜300Hz），計算得到氣膜阻尼的阻尼比隨氣膜厚度h 的變化曲線，如圖3 所示。

圖4 不同頻率下氣膜厚度對阻尼比的影響Fig.4 Effect of Air Film Thickness on Damping Ratio at Different Frequencies

由圖4 可知：平板的振動頻率比較高時，氣膜阻尼的阻尼比隨氣膜厚度的增加而降低并趨于穩定；平板的振動頻率比較低時，氣膜阻尼的阻尼比隨氣膜厚度的增大先增大后減小，之后趨于穩定。在相同氣膜厚度條件下，平板振動頻率越大，氣膜阻尼的阻尼比也越大，氣膜阻尼抑振效果越明顯。

此外，當平板振動頻率較低時，氣膜阻尼存在最優厚度，這主要是在低頻振動情況下，流體附面層厚度的影響不能忽略[8]。附面層厚度與平板振動頻率的關系如下式（21）：

由式（21），平板振動頻率越小，附面層厚度越大。當氣膜厚度小于附面層厚度時，隨氣膜厚度的增加，粘性剪切力做功區域增加，振動能量耗散增加，阻尼比增加；當氣膜厚度大于附面層厚度時，隨氣膜厚度的增加，流體流動時克服粘性剪切力產生的流動損失和能耗損失減小，導致阻尼比下降。

為進一步分析氣膜厚度對阻尼比的影響，假設氣膜內的空氣為常溫20℃，且氣膜厚度大于流體附面層厚度[15]，求得平板一階振動響應，如圖5 所示。

圖5 厚度對氣膜阻尼抑振效果的影響Fig.5 Effect of Film Thickness on Vibration Suppression Effect

由圖5 可知：當氣膜厚度大于附面層厚度時，不同氣膜厚度計算得到的平板振動響應不同。隨著氣膜厚度的增加，平板振動位移增大，且最大位移發生的頻率向頻率增加的方向移動，這與文獻[8-9]計算結果趨勢一致。

由圖4、圖5 計算結果，氣膜具有最優厚度，在設計航空發動機葉片氣膜阻尼結構時，應綜合考慮附面層厚度和振動頻率，以得到最好的抑振效果。

4.3 氣膜長度的影響

改變圖1 氣膜結構長度，計算得到平板振動響應，如圖6 所示。

圖6 長度對氣膜阻尼抑振效果的影響Fig.6 Effect of Length on Vibration Suppression Effect

由圖6 可知：當氣膜長度為75mm 時，抑振效果最為明顯，其他情況下平板振動幅度均有所增加。因此氣膜阻尼具有最優長度，超過或低于該長度將降低其抑振效果。

4.4 氣膜長度厚度比的影響

氣膜的結構尺寸參數是影響氣膜阻尼抑振效果的關鍵因素[9]，不同振動頻率下氣膜的長度厚度比與阻尼比的變化曲線，如圖7所示。由圖7 可知：不同振動頻率下，阻尼比都隨著長度厚度比的增加而增加。振動頻率越大，阻尼比的增幅就越大。

圖7 氣膜長度厚度比與能量耗散的關系Fig.7 Effect of Film Length-Thickness Ratio on Dimensionless Damping

4.5 安裝位置的影響

保持氣膜和吸振薄板沿平板厚度方向位置不變，改變其距自由端的距離，氣膜阻尼在平板中不同安裝位置，如圖8 所示。

圖8 氣膜安裝位置示意圖Fig.8 Schematic Diagram of the Installation of AFD

不同安裝位置計算得到的平板的振動響應與振動頻率的關系，如圖9 所示。

圖9 安裝位置對氣膜抑振效果的影響Fig.9 Effect of Installation Position on Vibration Suppression

由圖9 可知，氣膜阻尼的安裝位置不僅影響其抑振效果，也改變了平板的固有振動特性。平板的振動最大位移出現在自由端，氣膜阻尼安裝在該位置抑振效果也最為明顯。由表2 可知：與實心平板相比，隨著安裝位置向固支端移動，平板的共振頻率也向前移動。

表2 共振頻率對比Tab.2 Comparison of Resonance Frequency

5 結論

將氣膜內氣體的流動分別等效為牛頓流體的流動和泊肅葉流體的流動，建立了帶振動能量耗散機制的氣膜阻尼理論模型。通過對帶氣膜阻尼懸臂平板的振動特性研究，確定了不同流動模型對計算結果的影響，以及在設計風扇葉片氣膜阻尼時應關注的影響因素。泊肅葉流體能考慮更多的振動能量耗散機制，計算得到的阻尼比大于由牛頓流體得到的阻尼比；當平板振動頻率比較低且流體附面層厚度的影響不能忽略時，氣膜阻尼存在最優厚度；氣膜的厚度、長度等幾何尺寸對氣膜阻尼的抑振效果有較大影響，在設計時應予考慮；氣膜阻尼結構的安裝位置不僅影響平板的抑振效果，而且改變了平板的共振頻率。