基于固定方差展開的提升機主軸裝置可靠性優化設計

任馮斌，曹 爽，盧 昊，2

（1.中國礦業大學機電工程學院，江蘇 徐州 221116；2.中國礦業大學江蘇省礦山機電裝備高校重點實驗室，江蘇 徐州 221116）

1 引言

提升機主軸裝置是提升機中重要的機械裝備，其安全可靠是保證礦井高效穩定提升的重要保證，是提高煤炭產量與經濟效益的重要前提。由于結構參數和載荷參數等具有不確定性，為保證提升機主軸裝置滿足預期的可靠性指標，就必須充分考慮不確定性的影響，在設計階段進行準確的概率分析，從而滿足提升機主軸裝置初始可靠度的要求[1]。現階段，可靠性理論已有了一定的發展，如在可靠性算法和可靠性優化理論等方面獲得了較為廣泛的研究[2—9]。

針對提升機主軸裝置開展基于可靠性的結構優化設計，可以在獲得各參數最優組合的條件下，滿足該類裝備零部件的可靠度要求，從而使得整體裝備具備抵抗不確定性的能力。在保證結構可靠度求解精度的前提下，通過將結構的可靠性指標作為優化設計模型的約束之一，即可在保證結構得到最優參數的同時，保證結構滿足期望的可靠度要求[10-11]。依據提升機主軸裝置的實際工況，建立了其強度失效的極限狀態函數，并將其通過Taylor 級數展開到二階，基于固定方差展開方法獲得了極限狀態函數的前三階矩。根據可靠性理論和基于矩的鞍點逼近方法計算得到了提升機主軸裝置的失效概率。將所求得的結構可靠度作為約束，建立了提升機主軸裝置的可靠性優化設計模型。數值算例表明，方法可有效地開展提升機主軸裝置的可靠性及可靠性優化設計。

2 基于固定方差展開的高階統計矩計算

根據可靠性分析的基礎理論，首先建立提升機主軸裝置的極限狀態函數。

一般地，極限狀態函數可表示為如下形式：

若使用固定方差展開，上述可靠性功能函數可以寫成：

式（3）中的方差展開項可以由下式計算：

式中：c=［c1，…，cN］—固定點；

g（c|xsi）—在固定點c 代入g（x）所得的計算值。

具體計算過程可參見文獻[12]。

根據式（4），功能函數g（x）的均值可以表達為所有展開項的代數和，即：

類似地，功能函數的方差可以表示為所有展開項方差的代數和，即：

3 基于鞍點逼近的可靠性分析

基于矩的鞍點逼近是在獲取狀態函數前幾階矩的基礎上，通過擬合高階矩得到狀態函數的逼近分布函數[13-14]。基于矩的鞍點逼近方法可以表達為：

其中，sign 函數有sign（y）=1，-1，or 0（y＞0，y＜0 or y=0）。與傳統的鞍點逼近方法相比，式（8）所表述的鞍點逼近方法使用了逼近的累積量母函數，從而避免了隨機變量累積量母函數不存在的情況。

所采用的逼近累積量母函數表達為：

其二階偏導數表達式為：

當求得結構功能函數的前三階統計矩后，便可代入到式（8）中進行結構可靠度的計算。

4 可靠性優化設計

在結構可靠性分析的基礎上，基于傳統的優化設計模型，建立了提升機主軸裝置的可靠性優化設計模型如下[15]：

式中：Y—設計變量向量；

V—提升機主軸裝置的體積；

R（Y）—提升機主軸裝置的強度可靠性；

Rtar—可靠性約束的期望可靠度；

YL和YU—設計變量向量的下限和上限；

qj（Y）—變量需滿足的非線性約束。

5 數值算例

提升機主軸裝置是提升機中最為關鍵的機械部件，針對提升機主軸裝置的強度可靠性及結構優化問題開展研究。提升機主軸裝置的三維模型，如圖1 所示。隨機變量的統計特性，如表1 所示。

在建立提升機主軸裝置仿真模型的基礎上，開展了提升機主軸裝置隨機響應的仿真分析，其應力云圖，如圖2 所示。由于大型礦井提升機主軸裝置的載荷條件復雜、結構參數較多，導致隨機仿真分析涉及的參數眾多，因此，采用基于拉丁超立方抽樣技術進行隨機變量的試驗設計，結合有限元分析方法開展了提升機主軸裝置應力響應的隨機仿真分析，從而獲得最危險位置結構應力的隨機響應。

圖1 提升機主軸裝置三維結構圖Fig.1 Three Dimensional Structure Diagram of Hoist Main Shaft Device

表1 提升機主軸裝置隨機變量的統計特性Tab.1 Statistical Characteristics of Random Variables of Hoist Main-Shaft Device

圖2 提升機主軸裝置應力云圖Fig.2 Stress Nephogram of Hoist Main Shaft Device

由Kriging 相關理論，將隨機變量樣本點矩陣及應力響應樣本設定為已知信息、回歸模型選取為固定值、采用高斯相關方程，建立Kriging 最優模型：

根據廣義應力—強度干涉理論，提升機主軸裝置強度失效的極限狀態方程和可靠性模型可分別表示如下：

應用這里提出的基于固定方差展開的鞍點逼近方法得到提升機主軸裝置的失效概率為：

Pf=0.01197

根據這里所提出的可靠性優化設計模型，設期望可靠度為0.99，設計變量為：

Y=［D1，L1，D2，D3，L2］T=［710，315，800，710，315］，通過優化得到優化后的結構參數為Y*=［D1，L1，D2，D3，L2］T=［639.58，347.11，820.92，767.78，324.67］。優化后的提升機主軸裝置能夠在滿足目標可靠度的同時，實現體積的最小化。通過可靠性優化設計能夠有效改善提升機主軸裝置的現有結構。

6 結論

提出了一種基于固定方差展開的提升機主軸裝置可靠性優化設計方法。

（1）采用二階Taylor 級數展開可靠性功能函數，結合固定方差展開分析獲得了功能函數的前三階統計矩；

（2）根據基于矩的鞍點逼近方法，得到了結構的可靠性指標和失效概率；然后，建立了基于可靠度約束的可靠性優化設計模型；

（3）將所提出的可靠性方法應用于提升機主軸裝置的可靠性優化設計中，實現了提升機主軸裝置結構參數的優化設計。