轉子壓縮機滾動活塞角速度的計算方法比較

梁 鵬，郭 峰，王曉波

（1.青島理工大學機械與汽車工程學院，山東 青島 266520；2.中國科學院蘭州化學物理研究所固體潤滑國家重點實驗室，甘肅 蘭州 730000）

1 引言

壓縮機可分為容積式和速度式，容積式壓縮機包括轉子壓縮機、活塞式壓縮機[1]、渦旋式壓縮機[2]及螺桿式壓縮機等，而其中的轉子滾動式壓縮機以其工作平穩、結構簡單、重量輕等諸多優良品質得到了廣泛應用，如家用空調、電冰箱及小型商用制冷設備。絕大部分2.2kW（3P）以下的家用空調均采用轉子式壓縮機。轉子壓縮機內的滾動活塞是實現其工作原理的最重要部件之一，滾動活塞的運動由兩部分（隨主軸繞氣缸中心的公轉和繞主軸中心的自轉）組成，其復雜的運動狀態很難進行實驗測量，故對活塞角速度的研究大多依靠理論計算。活塞角速度的精確計算對于研究各部件的相對運動速率、受力分析、壓縮機摩擦功耗及偏心輪軸平衡等都非常重要。

目前，很多學者提出了各自的方法來計算滾動活塞的角速度，如精確迭代法，簡化解析式法和平均值法。精確迭代法雖然計算準確，但計算過程復雜；簡化解析式法和平均值法計算簡單，但精確度稍差。文獻[3]分別利用迭代法求解滾動活塞的運動微分方程，從而計算活塞角速度并利用角速度值求解壓縮機的摩擦損失。文獻[4]通過迭代法求解納米冷凍機油潤滑條件下壓縮機活塞的角速度，研究冷凍機油對壓縮機摩擦功耗的影響。文獻[5]假設滾動活塞處于穩定工作狀態，并將滾動活塞視為勻速轉動的自由體，推導出活塞角速度的簡化解析式。文獻[6]利用此簡化解析式計算活塞角速度，繼而對CO2跨臨界循環膨脹機的動力學特性進行計算，為膨脹機的設計提供了依據。有些學者通過更進一步的條件簡化，得到活塞角速度的平均值公式。文獻[7-8]認為活塞處于近似穩定狀態，其角速度為常量，通過推導得到活塞角速度的平均值公式，并根據算例中的參數計算某型號壓縮機的活塞角速度值。文獻[9]通過簡化條件推導出活塞角速度的另一種平均值公式，并利用此公式計算家用冰箱旋轉壓縮機的動力學參數。轉子壓縮機活塞角速度計算的精確度對于壓縮機動力學研究的準確性非常關鍵，近年來提出的簡化解析式法和平均值法雖然具有計算簡便的特點，但是其精確程度有待討論，通過文獻檢索并未發現有文獻關于兩種方法的精度對比研究。故在之前的研究基礎上[10]，利用三種方法（精確迭代法，簡化解析式法和平均值法）分別計算滾動活塞角速度，并研究潤滑油粘度、主軸轉速、滾動活塞與氣缸端蓋間隙、滾動活塞與偏心輪間隙等參數對活塞角速度的影響。

2 活塞角速度的三種計算方法

滑片是與滾動活塞直接接觸的零部件，首先對滑片的受力進行簡單分析。滑片運動中受到較多力的影響，如滾動活塞與滑片頂端之間的接觸力Fn和摩擦力Ft，滑片槽與滑片之間的接觸力FR1、FR2以及摩擦力FRt1、FRt2等。在滑片所受外力中，Fn是滑片與滾動活塞相互作用的一個重要作用力，其計算公式為：

式中：μs—滑片槽與滑片間的摩擦系數；Fh—滑片伸到氣缸內的部分受到的壓差；l0—滑片的徑向長度；Bv—滑片的厚度。

滾動活塞在工作過程中有兩個運動：活塞隨著偏心主軸繞氣缸中心的公轉以及活塞繞著偏心主軸軸心的自轉。根據動力學方程可得活塞的運動微分方程[4]：

式中：ωp—滾動活塞的角速度；Ipo—滾動活塞的轉動慣量；Ma、Mb、Mc—活塞與氣缸內壁、氣缸端蓋、偏心主軸間的摩擦力矩。式子（2）可以采用改進歐拉法迭代求解。

如果假設滾動活塞處于穩定工作狀態，即將其視為勻速轉動的自由體，則可求解出滾動活塞角速度的簡化解析式為[6]：

式中：r、r1—滾動活塞的外徑和內徑；μv—滑片端部與滾動活塞間的摩擦系數；Re—偏心輪半徑；le—偏心輪長度；αF—油膜弧角；ω—偏心主軸的角速度；δ4—油膜的平均厚度。

如果假設滾動活塞的角速度為一個恒定值，則活塞的角速度平均值公式為[7]：

式中：R—氣缸內徑；μ—潤滑油的動力粘度；δe—滾動活塞與偏心主軸的間隙；δ2—滾動活塞與氣缸端蓋的間隙。

3 活塞角速度計算方法的準確性比較

利用MATLAB 軟件分別編寫了精確迭代法（式（2））、簡化解析式法（式（3））及平均值法（式（4））三種方法的計算程序，利用三種方法計算某型號轉子壓縮機滾動活塞的角速度，并研究潤滑油粘度μ、主軸轉速n、滾動活塞與氣缸端蓋間隙δ2、滾動活塞與偏心主軸間隙δe對活塞角速度的影響。仿真過程中，該型號轉子壓縮機的結構參數可參考文獻[11]。首先，需要對迭代法程序的精確性進行驗證，結合文獻[12]，將迭代法程序計算的活塞角速度與文獻[12]中的結果進行比較，如圖1 所示。從圖中可以看出，迭代法計算結果與文獻[12]的計算結果一致性較好，證明迭代法程序計算精準，可用于比較和評價其他兩種方法（簡化解析式法和平均值法）的準確性。

圖1 迭代法精確性的驗證Fig.1 Verification of Accuracy of Iterative Method

不同工況下利用三種方法（精確迭代法，簡化解析式法和平均值法）計算得到的滾動活塞角速度，圖中同一種顏色曲線代表利用同一種方法得到的結果，而不同的線型代表不同的工況，如圖2～圖5 所示。潤滑油粘度μ 不同時，三種方法得到的滾動活塞角速度值，如圖2 所示。從圖中可以看出：（1）隨著潤滑油粘度的升高，迭代法計算出的滾動活塞角速度ωp值是增大的，且ωp隨著主軸轉角θ 的變化趨勢類似于弦函數；（2）利用簡化法計算得到的滾動活塞角速度ωp整體變化趨勢與迭代法得到的ωp近似相同，但數值上卻差別較大且簡化法計算值偏小，平均法得到的滾動活塞角速度ωp僅僅是一個恒定值且比迭代法計算值大很多；（3）簡化法得到的ωp計算結果在最大值及附近區域隨潤滑油粘度增大而減小，但在其他區域ωp卻隨潤滑油粘度增大而增大，這與迭代法計算的ωp變化趨勢一致；（4）潤滑油粘度對平均法計算的ωp值影響很小，但平均法的ωp也是隨著潤滑油粘度增大而略微增大，此變化趨勢也與迭代法計算的ωp一致。

圖2 不同潤滑油粘度μ 時活塞角速度的計算結果Fig.2 Calculation Results of Angular Velocity of Piston with Different Oil Viscosity（μ）

利用三種方法仿真計算主軸轉速n 不同時滾動活塞角速度ωp，如圖3 所示。可以發現：不論采用何種方法，計算得到的活塞角速度ωp都隨著主軸轉速n 的增大而明顯提高；雖然簡化法得到的ωp值變化趨勢與迭代法的ωp趨勢一致，但兩者之間差距仍然明顯，且差距隨轉速n 的增大而越發顯著；平均法計算的ωp仍然對主軸轉角θ 的變化不敏感，且平均法與迭代法的ωp值差距隨主軸轉速的增大而增大。

圖3 不同主軸轉速n 時活塞角速度的計算結果Fig.3 Calculation Results of Angular Velocity of Piston with Different Speed（n）

圖4 不同δ2（滾動活塞與氣缸端蓋的間隙）時活塞角速度的計算結果Fig.4 Calculation Results of Angular Velocity of Piston with Different Clearance（δ2）Between Rolling Piston and Cylinder End Cap

圖5 不同δe（滾動活塞與偏心主軸的間隙）時活塞角速度的計算結果Fig.5 Calculation Results of Angular Velocity of Piston with Different Clearance（δe）Between Rolling Piston and Eccentric Shaft

壓縮機內部很多零件之間存有間隙，這些間隙的大小會影響摩擦力，繼而影響滾動活塞的角速度。不同δ2（滾動活塞與氣缸端蓋的間隙）和δe（滾動活塞與偏心主軸的間隙）時滾動活塞角速度的計算結果，如圖4、圖5 所示。從兩圖可以看出：（1）隨著δ2的增大，迭代法和平均法計算得到的活塞角速度ωp也是增大的，但δ2值越大其對活塞角速度ωp的影響越弱，這從δ2=10μm 和δ2=20μm 時ωp 的曲線非常逼近可以看出；（2）簡化法計算得到的ωp在最大值及附近區域隨著間隙δ2增大而增大，但在其他區域變化趨勢卻相反；（3）雖然簡化法得到的ωp與迭代法得到的ωp變化趨勢相近，但其數值上的差距隨著間隙δ2的增大而越來越明顯；（4）不論采用何種計算方法，隨著間隙δe的增大，活塞角速度ωp是減小的；（5）當δe=0.5μm 和δe=12.5μm 時，簡化法與迭代法的計算結果差別較大，而當δe=2.5μm 時，兩種方法的計算結果差別卻較小，這說明存在最優間隙δe 可使簡化法與迭代法的計算結果非常接近；（6）隨著δe的增大，平均法計算的ωp與迭代法計算的ωp差距越來越大。綜上分析可知，三種方法（迭代法、平均法、簡化法）都可以計算活塞角速度，但其特點和適用范圍不同：（1）迭代法計算的ωp值精確（如圖1 所示）但需要編寫較為復雜的程序進行反復迭代（見式2），此方法適用于活塞角速度、壓縮機摩擦功耗等參數的理論仿真研究；（2）平均法計算公式簡單（見式4），但計算結果為一個比精確值大的恒定值（如圖2-圖5 所示，平均法計算結果為水平線），且計算誤差較大，例如，圖2 中平均法計算得到的ωp最大絕對誤差可達73.58rad/s，而最大相對誤差可達146.85%；（3）相比于平均法，簡化法計算公式同樣簡單（見式3），但其優點在于計算的ωp值不僅變化趨勢和精確值（即迭代法得到的ωp）相同，且計算精度也明顯提高（如圖2～圖5 所示），例如，圖2 中簡化法的計算結果與精確值相比，最大絕對誤差為28.03rad/s，最大相對誤差為45.17%。雖然簡化法和平均法計算ωp值的精度都不算很高，但由于兩種方法的公式簡單，不需要借助程序迭代而可以方便地應用于人工計算，兩種方法可聯立用于壓縮機的設計，平均法計算ωp的結果可作為活塞角速度的上極限，簡化法的結果可以作為活塞角速度的下極限（絕大部分情況下簡化法的計算結果小于精確值），且簡化法還可以預測活塞角速度的變化趨勢。

4 結論

利用轉子壓縮機活塞角速度的精確迭代法檢驗和比較了其他兩種計算方法（簡化解析式法和平均值法）。給出了滾動活塞角速度的精確迭代公式、簡化條件后的近似解析式以及平均值公式，利用MATLAB 軟件實現活塞角速度的三種計算方法，并對活塞角速度的計算結果進行對比，總結如下：

（1）精確迭代法的計算精度非常高，但是需要利用計算機編寫較為復雜的程序并進行反復迭代求解；

（2）平均值法的計算公式非常簡單，適合于人工計算，但計算的活塞角速度ωp不僅為恒定值，而且數值大大高于精確ωp值，即相對誤差和絕對誤差比較大；

（3）簡化法的計算公式同樣簡單，但其優點在于計算得到的活塞角速度ωp變化趨勢與迭代法一致，且計算精度要明顯高于平均值法；

（4）活塞角速度ωp隨著主軸轉速的增大（或潤滑油粘度的升高）而具有明顯的增大趨勢；

（5）隨著間隙δ2的增大，活塞角速度ωp也是增大的，但δ2越大其對活塞角速度ωp的影響越弱；隨著間隙δe 的增大，活塞角速度ωp是減小的。