小學數學“數與代數”中數學模型的建構

■江蘇省徐州市睢寧縣桃園鎮魏圩小學 袁 媛

一、基于數學問題情境是數學模型建構的基礎

小學學生處于形象思維向抽象思維的過渡時期，基于數學生活的問題情境，特別是通過一些童話故事帶入的情境，可以激發學生學習的興趣。如教師在指導學生學習“小數的基本意義與性質”的時候，通過一則童話故事來導入教學，能夠激發學生的學習興趣。在運用故事導入的過程中，不是為了講故事而講故事，而是要讓故事內容與學生的學習內容緊密地聯系起來，讓故事情境服務于教學情境。通過故事激發學生的學習興趣，勾連起學生的認知經驗，為數學建模提供幫助。此外，教師創設的故事內容要短小，故事要精彩，要與學生的生活、心理、認知聯系起來，不能在教學過程中占用太多的時間。教師還要具有一定的創編故事、講述故事能力，通過教師的“講”，能夠激發起學生學習的興趣，為數學模型建構提供基礎。

二、經歷“數與代數”抽象、運算與建模的過程

學生在數學模型建構的過程中，首先要經歷思維的參與，只有產生思維活動，才能從數學生活中認識數學關系，借助數學關系進行運算，最后才能達到建模的過程。其次，教師要基于學生生活提出數學問題，從學生能夠理解的數學生活出發開展教學。最后，教師要引導在具體建模中完成對知識的再次回顧，實現學習支架的搭建。如在“正比例和反比例”的學習中，教師就可以設置這樣的學習環節。

教師出示數學題：學校陽光食堂100kg面粉可以做出125kg饅頭，照此計算，要做出200kg饅頭，需要多少千克的面粉？從題中，我們可以看出“面粉”與“饅頭”是兩個基本的量；二者之間的關系通過“出餅率”表現。這道題目是從學生司空見慣的日常生活中提取的，學生對于其中的關系能夠輕易理解。但是要想走向數學建模，就需要運用數學符號來表達其中的數學問題，發現其中的數量關系和變化規律。在教學當中，教師需要組織學生通過對題目當中數量關系的觀察，對變化關系的概括，分析完成模型抽象，得到模型，這是學習的第一個環節。

在數量分析的基礎上，我們不難發現，需要把問題聚焦在“出餅率”上。它直接關系著面粉與饅頭兩者數量之間的關系。由此可見，我們可以得到關系是饅頭量=面粉量×出餅率。這道題目并不是要得到這兩道題的準確答案，而是讓學生建立起其中的數學思維。在本道題中，饅頭量=面粉量×出餅率。面粉與饅頭是變量，但它的“出餅率”固定的。因此，饅頭和面粉成正比例關系。如果通過列式計算，則為：125÷100=1.25；200÷1.25=160千克。當然，這道題目并不是為了考察學生的運算過程，而是讓學生經歷思維的活動過程，喚醒學生運用比例知識解決問題。因此，教師要引導學生進行具體的分析，得出如下結論：

本道題目中，面粉和饅頭是變量，但是“出餅率”是不變量。列方程的方式去解，則設：要做出200kg饅頭，需要x千克面粉。

饅頭量=面粉量×出餅率

因此，面粉和饅頭成正比例，通過列方程不難得出：

解：設要做出200千克的饅頭需要x千克的面粉。

125：100=200：x

在教學中，教師通過這種式讓學生思考，就是引導學生對數學模型建構過程進行思考。在第一次解題過程中，學生大多會基于兩種數量關系進行直接計算，其思維沒有經過整合，缺少了模型建構的過程；以上比例的方式則是讓學生通過思維的發生，重新建立了思維模型。在這道題目的學習過程中，第一次是通過數學的方式解決問題；第二次是通過數學思維建模的方式解決問題。我們不難發現第二個方法更好，因為當學生建立了這樣的數量關系后，對于其他的題目就能夠熟能生巧，舉一反三。這樣的學習過程是進步的過程，在這種模型當中，一是數量關系的變與不變，是內容層面的；第二是方法層面的，即數學模型的建構與運用。

三、建構模型支架，運用數學模型學習

建模的過程就是“數學化”的過程。教師在教學中要時刻關注“數學化”的時間，找準“數學化”的節點，讓學生運用數學模型學習，回到數學生活中完成知識的建模。如在“用字母表示數”的教學中，在學生建構起了用“字母”表示數的數學模型后，教師需要及時引導學生發現“用字母表示數”背后隱藏的知識結構，建立起符號思維，搭建起符號模型，讓學生的思維品質得到發展。學生通過學習，已經初步具備了可以用字母表示任意一個數字的能力，在具體的學習運用，教師需要抽絲剝繭，讓學生抵達知識的核心，建構起數學模型。

教師在研究完“x”在字母與數字之間的關系后，可繼續讓學生看一看教師的年齡如何表示，如果用“x”來表示，這里的“x”能不能“表示任意的數”，讓學生經歷思維建構的過程。通過這個環節，教師夢將讓“字母表示數”的知識與學生的生活聯系起來。有的學生認為這里的“x”大約能表示“25～35”之間的數字。教師順勢引出，“x”表示任意的數是“有范圍”的；接著出示家中的小狗，讓學生繼續猜小狗的年齡。在這個環節中，讓學生建構起“同一個問題中，不能用相同的字母表示不同的量”的概念。接著教師出示小狗比自己小32歲，讓學生運用算式來表示，引導學生說出“x-32”，然后讓學生說一說其中的數量關系。“x-32”是運算過程還是運算結果。最后，教師繼續指出：“老師的年齡和小狗的年齡都會變化，如果繼續用數量關系表示，其中有變量與不變量。”教師可讓學生說一說其中的關系。經過這樣的學習過程，學生在用“字母表示數”的數學模型運用的過程中就能夠聯系生活，聯系知識概念與方法，實現知識的內化。

總之，數與代數的學習分布在教材的不同學段，包含著不同的數學模型。在教學中，從教師角度，教師需要從“數”的角度去理解，從生活的角度去設計，從思維的角度構建學習支架，幫助學生建立起數學模型，在具體的數學活動中運行數學模型，實現知識的遷移與內化；從學生角度，學生需要在具體的情境中理解“數與代數”，在真實的思維活動中獲得“數感”的發展，感受模型的不同表征。此外，“數與代數”還需要與學生的數學生活、現實生活結合起來，需要與數學知識的整體建構結合，需要與學習發展的整體脈絡結合。教師只有豐富問題情景、強調教學多樣、學會把握數學關系、發展符號意識、探究數學規律，才能實現小學學生數學素養的全面發展。