基于深度學習的數學教學設計

張麗杰 莫宗趙 周瑩

摘 要 深度學習是新世紀創新型人才的技能指向之一，已在教育領域引起了廣泛的關注。教師在進行均值不等式幾何證法的相關教學時，應基于深度學習理念，結合數學學科特點，整合梯形、圓形的性質，利用動態數學教學軟件Hawgent，以問題驅動為脈絡，通過小組合作，引導學生掌握不同情境下均值不等式的證明方法。

關鍵詞 高中數學 深度學習 動點路徑 皓駿技術

21世紀以來，隨著經濟和信息技術的不斷發展，社會對高質量人才的需求日益增加，時代要求學生具有深度學習的能力。2010 年我國頒布的《國家中長期教育改革和發展規劃綱要 （2010—2020年）》明確提出，“要注意培養學生的自主學習能力，注重培養學生學習的主動性、獨立性、創造力和問題解決能力。”[1]深度學習作為實現這一目標的重要途徑之一，引起了國內學者們的廣泛重視，也在教育教學領域中為教師的“教”和學生的“學”提供了新的思路。

一、理論基礎

深度學習是指學習者對已有知識加工、整合、遷移和運用，形成新知識，建構新的知識體系，用“較高的沉浸性和投入度”[2]37積極地參與學習知識的過程。深度學習以前概念為基礎不斷增生新的知識生長點，旨在提高學生的高階思維和問題解決能力。

在“互聯網+”時代，學習方式發生了極大的變化，“學習的時空、場域、過程、方式、路徑以及自主學習的目標定位、內容范疇、學習行為的內外顯表征等，越來越個性化甚至‘碎片化?！盵3]毋庸置疑，深度學習概念的提出給我國傳統教學模式帶來了挑戰，傳統教學已經不能滿足學生的認知向更深層次轉化的需要。在這一背景下，“多媒體畫面語言學指導下的新媒體技術可以根據不同的情境需求，滿足以學生為中心的行動、建構和生成。”[4]22“教育軟件作為學習科學視域下深度學習的中心，計算機的處理信息的功能和化無疑為可視的作用對深度學習提供了有力有效的支持?！盵5]

鑒于此，教師在教學中應基于深度學習理念，結合數學學科領域，整合梯形、圓形的性質，充分利用Hawgent（皓駿）數學動態技術軟件，通過問題驅動等，分析如何實現深度教學，達到提升學生深度學習能力的目的。

二、設計思路

我國學者劉哲雨等人提取了面向深度學習的教與學活動中的核心要素，并基于核心要素構建了深度學習框架[4]23，“杜威認為，知識的學習要經歷知識的還原與下沉、經驗與探究、反思與上浮的‘U型學習過程”[6]，以促使學生完成思維的碰撞和深度思考。在此基礎上，筆者將該理念與數學學科領域相結合，設置了數學教學的五個環節：明確目標、創設情境（建立背景）、解決問題、變式訓練和反思評價（如圖1所示） 。

第一，明確目標。目標是行為的終點，明確學習目標才能提高學習效率。

第二，創設問題情境（背景）。教師需要將問題背景引入數學課堂，還原知識發生的情境，以直接經驗拉近數學知識與學生的距離，“賦予知識發生背景和使用情境，將知識進行還原，也即知識的‘下沉，讓學生與知識原初相遇，建立起知識與經驗的關聯。”[2]37

第三，解決問題。通過問題驅動，引起學生深度思考，剖析問題本質，再以小組合作協商的方式分享結果。小組合作是進行深度學習的重要方式之一。學生通過小組合作，能夠在共享智慧成果的過程中擦出思維的火花。而加入Hawgent動態技術元素，可以將抽象難懂的問題通過動態演示變得直觀，通過情境的變換促進知識的拓展、遷移。

第四，變式訓練。深度學習強調知識的遷移與應用。教師應適時變換情境或情境中的條件、背景、結論，讓學生再次解決問題。

第五，反思評價。教師應在活動的前、中、后使用元認知監測整個教學過程，及時總結、反思教學活動。

三、以均值不等式幾何證法為例的教學環節

（一）明確目標，計劃教學

通過本節課的學習，在知識上，學生對均值不等式有更深入的了解，明晰不同情境中其代表的幾何意義。在能力上，首先，學生通過動手操作，觀察變量之間的關系，提高動手操作能力和觀察能力;其次，學生在不斷變換的場景中提高靈活性、適應性和遷移能力，通過問題驅動，提升思考能力;最后，學生在反思、升華本節課內容的過程中形成新認知，提升反思能力。

（二）創設情境，引人入勝

圖2是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的。顏色的明暗使它看上去像個風車，代表中國人民熱情好客。教師讓學生帶著問題思考：你能在這個圖中找出一些相等關系和不等關系嗎？（參考人教版A版必修5）

[問題1] 該會標當中含有哪些幾何圖形？你能否運用數學語言將其刻畫出來？

設計意圖：教師用真實的生活情境引課，拉近數學課堂與數學知識之間的距離，進而引導學生從中抽象出數學圖形，并運用數學語言將其在紙上畫出（如圖3所示）。

[問題2] 仔細觀察四個直角三角形的面積與正方形的面積有什么關系？

設計意圖：教師引導學生通過兩者面積關系得出均值不等式的平方形式，并得出開平方后的基本不等式。

（三）合作學習，解決問題

[問題3] 在其他幾何圖形中應該怎樣證明均值不等式？如在圓形中。

設計意圖：教師變換證明情境，利用不同圖形的性質尋找不同的證明均值不等式的方法。引導學生通過小組合作，并結合Hawgent技術，嘗試如何利用圓的性質探究出其中的數量關系。

[生組1] 老師，我們令AG = a，BG = b，利用圓的半徑找出了[ab]與[a+b2]，并且通過變換F點的位置來觀察[ab]與[a+b2]的關系，結果發現，無論怎樣變換F點，[ab]都小于等于[a+b2]（如圖4所示）。

[生組2] 我們組還改變了a+b的大小，結果與第一小組的結論一致（如圖5所示）。

[師] 非常好，大家已經能夠從這種動態展示中發現，在以圓為背景的證明中，無論怎樣改變條件，始終都有[ab≤a+b2]。

[問題4] 在什么情況下該關系式中的等號成立？a和b有哪些限制？

（在提問之后，學生又展開了討論。）

（四）變換情境，深入探究

教師讓學生帶著問題思考：如果再次變換場景，將其放置在梯形中又會有怎樣的發現呢？采用的數學方法參考涂榮豹和季素月的《數學課程與教學論新編》一書[7]。

已知正數a、b，它們的算術平均值為[a+b2]，幾何平均值為[ab]，調和平均值為[2aba+b]，平方平均值為[a2+b22]（如圖6所示）。

[問題5] 小組合作，動手操作并觀察。你能找出幾條用a、b表示的線段？它們和每個平均值之間有什么關系？

設計意圖：利用梯形的性質引導學生盡可能多地找出符合條件的線段，發現線段與平均值之間的關系，為下一步的猜想、推理奠定基礎。

[生組3] 梯形的中位線是算術平均值[a+b2]，就是線段GH的長（如圖7所示）。

[生組4] 我們小組畫出了過梯形對角線交點的平行于底的線（即交位線），根據交位線定理可以得到交位線的長度就是調和平均值[2aba+b]，即線段JK的長（如圖8所示）。

[師] 這兩組同學找到了中位線和交位線，發現了它們與算數平均值、調和平均值之間的關系。同學們再想一想，還有哪些特殊的位置可以嘗試一下呢？

[生組5] 在前兩組同學的基礎上，我們小組畫出了線段JG和KH的中點，繪制線段LM，結果發現線段LM的長度和幾何平均值[ab]的大小一樣（如圖9所示）。

大家為第五小組同學的“妙想”鼓掌。

[師] 看來同學們的思路已經打開了。依據前面小組的思路，請大家再展開你們想象的翅膀，看看怎樣作線能夠找到平方平均值，多次嘗試一下吧。

[生組6] 能不能以點J為中點做點L（點G）關于線段JK對稱的平行線被梯形截得的線段？

（學生經過嘗試發現并不能得出結論，所以需要繼續尋找其他方法。）

[生組7] 老師，按照第六小組的思路，我們小組以點G為中點，做點L關于線段GH對稱的平行線被梯形所截得的線段OP，發現線段OP的長與平方平均值[a2+b22]大致一樣（可能是軟件精確位數所致）（如圖10所示）。

[師] 經過大家的共同努力，我們將四個平均數全部表示了出來，由圖可以直觀地看出四者之間的關系，即[2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22]。

[問題6] 在不等式[2aba+b≤ab≤a+b2≤a2+b22]中，什么情況下等號成立？

（學生再次移動梯形使得四線合一，發現只有當a = b時等號才成立。）

需要注意的是，這節課教師帶領學生從直觀上發現了各個平均值之間的關系，并沒有進行嚴格的演繹推理。在接下來的課程中，教師需要引導學生進行證明，以保證數學的嚴謹性。

（五）反思評價，總結提升

“反思是聯結深度學習各個階段的橋梁，高階思維的發展與深度學習層次的提高，都需要反思作為內生動力，反思的形式可以是多種多樣的，例如，可視化反思、有聲思維反思、自我反思等。”[4]23

1.學生角度。學生通過小組合作的形式共同探討，以小組代表總結發言的形式進行結果反饋和反思。

[生組8] 這節課我們學會了證明均值不等式的三種幾何方法。三種方法分別是：在正方形中利用面積關系進行比較;在圓形中利用半徑與弦的關系得出基本不等式;在梯形中利用線段長度找出四個均值不等式之間的關系。

[生組9] 補充：在第八小組總結的基礎上，我們小組還發現了當a=b時，梯形中的圖形就變成了平行四邊形;繼續移動點D至點C后，發現這是一個三角形，且線段GH為三角形的中位線;當點D無限接近點C時，點J、K、I、D、C五點重合，調和平均值[2aba+b]變為0，但是，此時線段OP的值與[a2+b22]并不完全相等。

[生組10] 通過這節課的學習和動手操作，我們驚奇地發現，利用不同的圖形就可以把難懂的不等式這么直觀地反映出來，原來圖形之間是相互聯系的。在以后的學習過程中，我們要更加注意知識之間的互通性了。

[師] 各位同學已經總結得非常全面了。第八小組說出了本節課的學習內容，第九組探索了圖形之間的變換，第十組感悟到了數學知識的聯系性。請同學們再思考一下，我們是如何得出不等式成立的。首先，我們從圖形中發現了數學關系，然后，我們利用圖形比較數的大小。這難道不是代數與幾何的巧妙結合嗎？通過圖形讓符號變得可度量化，以形比較數，以數衡量形，實現數形結合。其實，證明均值不等式的幾何方法遠不止這些。有興趣的同學在課下可以繼續討論交流，如利用兩個圓形該如何證明。這節課到這里就結束了。下節課我將帶領同學們用嚴格的數學推理來證明均值不等式的成立，體會數學的“一絲不茍”。

2.教師角度。在知識與技能方面，步驟1設定了本節課的學習目標，學生要掌握均值不等式的相關知識，教師要引導學生不斷思考、判斷和分析，以提升其解決數學問題的能力;步驟2以數學文化史內容引入，教師引導學生發現均值不等式的基本形式;步驟3強調小組間的交流與合作，通過小組合作與探究，共同發現均值不等式的形成過程;步驟4以變式形式深化學生對知識的理解和辨析;步驟5進行總結、評價與反思，以提升整個教學過程，鞏固新知。

在過程與方法方面，把握重點，突破難點;在重點掌握方面，學生學習了均值;在難點突破方面，讓學生感受均值不等式的多種幾何證明方法，明晰不等式各要素之間的動態比較過程，并利用Hawgent動態信息技術解決這一難點，將難以想象的發生過程直觀化。

在情感態度與價值觀方面，提升能力，訓練思維。本節課從著名的趙爽弦圖入手，根據不等式和幾何圖形的基本知識，通過動態變換，將圖形幾何意義與代數建立聯系，降低學生對數學知識的恐懼感;通過動手操作啟迪學生，在潛移默化中提升其觀察能力，不斷進行追問，以促進學生進行深度思考;以小組合作探究方式幫助學生及時調整自己的認知，了解他人想法，既增強了學生知識遷移能力，又促進了學生數學思維的培養。

四、感悟與啟示

（一）依托“六個問題、五個步驟”，明晰教學設計環節

整個過程，通過分析解決問題，讓學生經過不斷的思考，體會知識從實踐中來還要到實踐中去，以“明確目標、創設情境、解決問題、變式拓展和反思評價”的脈絡把控知識的學習歷程，步驟與步驟之間環環相扣。

（二）注重“動手操作，實驗探究”，積累探究性活動經驗

通過動手操作，深化學習過程，拓展學生思路。數學實驗作為一種新的數學學習方式，推動著教與學方式的變革。學生主動地參與到數學學習活動中來，在實踐、交流、反思中使數學學習從表層走向“深層”[4]23。

（三）促進深度學習，形成數學思維培養的基本模式

深度學習不僅體現在知識的遷移與運用，還要通過數學教學，讓學生養成深度學習、深度思考的習慣。只有這樣，才能使學生形成批判性思維，富有創造精神，才能提升其反思能力，培養高階思維，使其在解決數學問題的過程中思維更加開闊，聯想更加豐富。深度學習也是一個不斷聯結的過程，在原有知識基礎上不斷增長“知識樹”，最終形成嚴密的知識網絡。教師應引導學生將“前概念”（幾何圖形的基本性質、不等式等）和“科學概念”（均值不等式等）之間建立關聯，發現、找出并驗證猜想，以實現深度學習下能力的發展，形成培養數學思維的基本模式。另外，深度學習的有效教學離不開信息技術的支持。利用數學動態技術軟件可以把不容易想象的內容以更直觀的方式展現出來，有助于提高學生的動手操作能力和發現與探索能力，促進知識之間的遷移與運用。

[參 考 文 獻]

[1]國家中長期教育改革和發展規劃綱要工作小組辦公室.國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020年）[EB/OL].（2010-07-29）[2020-03-27].http：//www.gov.cn/jrzg/2010-07/29/content_1667143.htm.

[2]張曉娟，呂立杰.指向深度學習的課堂學習共同體建構[J].基礎教育，2018，15（3）.

[3]張紹軍，陳名英.近十五年我國“深度學習”研究述評[J].教育測量與評價，2019（11）：38-39.

[4]劉哲雨，任輝，劉拓，等.深度學習核心要素的提取、論證和運用[J].天津師范大學學報（基礎教育版），2018，19（3）.

[5]張益瑋.基于學習科學視域下的深度學習實施研究[J].海外文摘·學術，2019（4）：67.

[6]郭元祥.論深度教學：源起、基礎與理念[J].教育研究與實驗，2017（3）：7.

[7]涂榮豹，季素月.數學課程與教學論新編[M].南京：江蘇教育出版社，2007：352-354.

（責任編輯：趙曉梅）