讀懂題干條件 巧解反比例函數幾何題

查正權

摘 要 縱觀2019年江蘇省宿遷、鎮江、徐州三市中考函數真題，對于函數知識點的考察往往結合幾何問題進行，以考察學生對于函數、幾何圖形等相關知識點的靈活掌握程度。此類題型涉及知識點數量多、變化形式多樣，學生往往很難把握知識點在不同考點中的準確運用。因此，教師在相關教學時，應引導學生剖析題干條件，便于學生準確把握題意，靈活運用知識點快速解題。

關鍵詞 初中數學 中考 題干條件 反比例函數 快速解題

一、中考試卷中的反比例函數

在初等數學中，函數問題種類多，計算量大，一直以來既是初中數學的重要知識點之一[1]，也是初、高中數學的重要銜接點之一，是高中解析幾何的重要基礎[2]。因此，初中數學考試命題對于函數知識點的考察也相對較多、較頻繁。在眾多的考題尤其是中考數學真題中，為了增加函數問題的難度，往往重點考察反比例函數問題，其與幾何問題的結合，旨在考察學生運用幾何或代數方法解決復雜問題的能力[3]。這一類問題稍加難度，就可以成為中考數學題中的壓軸題。很多學生雖然能夠熟練掌握函數特點與幾何特征，但是對此類復合型問題往往很難找到解決問題的突破口，或是嘗試了錯誤的思路，浪費了中考解題時間。筆者以江蘇三市中考數學試題中反比例函數與幾何結合類型題為例，研究題型題干，挖掘題干中的隱含信息，幫助學生快速找到解題突破口，提高解題效率。

二、函數題干中的隱含信息

反比例函數兼具了有趣的幾何特征和代數特征[4]。幾何特征即為反比例函數的原點對稱性，代數特征即為反比例函數上的任意一點橫縱坐標乘積為定值。中考對反比例函數特性的考察往往就是考察它的幾何性與代數性兩個知識點。當反比例函數與幾何圖形結合時，產生的題型較為多樣，如反比例函數與三角形的結合、反比例函數與四邊形的結合、反比例函數與圓的結合等。不同的幾何圖形暗含的性質、條件不同，如三角形的幾何性質包括內角和為180°、全等或相似三角形等，代數性質包括直角三角形的勾股定理、任意兩邊和大于第三邊等。四邊形本質上可以轉化為三角形問題。中考對圓形的幾何性質考察不多，考察較多的是圓形的代數性質，如同一圓內半徑相等、直徑是圓內最長的線段等。這類題往往會在題干中附加一些其他條件，增加條件的限定性。這些題干中的附加條件常常就是確定究竟采用偏代數方法還是偏幾何方法解題的關鍵。

一般情況下，若題干中給出的附加條件是偏向于幾何性質的條件，那么解題關鍵一般在于利用幾何方法;若題干中給出的附件條件更偏向于代數性質，那么解題關鍵則在于代數方法。這里所說的偏幾何性質的條件，是指基本不涉及具體數值或計算的條件，如角平分線、中點、平行線、全等或相似三角形等;偏代數性質的條件，是指很大程度上利用數值、坐標、函數、等式進行計算的條件，如直角三角形中常用的勾股定理、函數方程等。考生可在分析題干條件的性質后，決定是優先采用諸如構造全等或相似三角形、運用三角形中位線、中線、角平分線定理尋找等式關系等幾何解法，還是優先采用設坐標、未知數、運用勾股定理尋找方程關系等代數解法。筆者以2018年江蘇省鎮江市中考真題、2019年江蘇省揚州市中考真題和2019年江蘇省徐州市中考真題為例，剖析此類型考題的解法。

三、中考函數幾何真題解析

（一）2018年江蘇省鎮江市中考真題——反比例函數與圓的結合

2.分析。通過審題，提取題干中的已知條件：①函數條件，確定的一次函數，不確定的反比例函數;②幾何條件，確定的圓;③附加條件，Q是AP的中點，OQ長的最大值。此類題型應重點關注附加條件。題的附加條件圍繞點Q展開：一是說明了Q是AP的中點;二是說明了OQ長度的最大值。這兩條附加條件看似一個偏向幾何性質，一個偏向代數性質，實際上都是對點Q的條件說明。“OQ長度的最大取值”是基于“Q是AP的中點”條件之上，因此，該題附加條件實則重點為“Q是AP的中點”這一幾何性質。考生在解題過程中應優先考慮幾何解題方法。前文中對反比例函數的幾何性質、代數性質已有說明。由反比例函數的對稱性可知，點O為線段AB的中點，加之點Q是線段AP的中點，兩個中點、一個三角形，勢必想到連接點B、P，運用三角形中位線定理，該題即可迎刃而解。

2.分析。通過審題，提取題干中的已知條件：①函數條件，確定的反比例函數;②幾何條件，不確定的三角形;③附加條件，兩條外角平分線。重點看附加條件：兩條外角平分線，偏幾何性質，優先考慮利用幾何方法解題。一般而言，角平分線這樣的條件具備強烈的構造相似或全等三角形的暗示。因此，此題優先考慮通過輔助線構造全等或相似三角形作為解題突破口。

結語

在中考數學題中，對反比例函數的考察往往會結合幾何圖形的性質。關鍵考察考生對反比例函數性質、幾何圖形性質的深入理解與靈活運用。考生若能分清何時可利用題干條件中包含的幾何性質，何時借助輔助線，何時可利用題干條件中包含的代數性質解題，并能靈活運用幾何圖形條件中包含的幾何性質與代數性質，則可大大提高解題速度和準確率。

[參 考 文 獻]

[1]李德強.關于初中數學函數高效復習的策略研究[J].新課程學習（上），2013（12）：69.

[2]鄧勤.新課程背景下初高中數學教學的有效銜接：從函數概念的教學談起[J].數學通報，2011，50（2）：33.

[3]付燕敏.求解中考函數與幾何圖形結合的試題[J].理科考試研究，2017，24（2）：1.

[4]劉超.例析反比例函數與幾何圖形交匯的中考題[J].中學生數理化（嘗試創新版），2014（6）：14.

（責任編輯：趙曉梅）