三次函數引思考 回歸教材探本源

周翔 鄭傳遠

三次函數是高中數學重要的函數模型，頻繁見于選修2-2《導數及其應用》，無論在例題教學，還是課后習題，都出現大量以三次函數模型為載體的問題.回顧高考，三次函數模型已經連續兩年出現在導數解答題中.顯然，三次函數已經成為高考命題的一個熱點和亮點.本文從教材的一道課后習題出發，追根溯源，就利用導數研究三次函數問題的特點做出分析，并在此基礎上給出教學建議.

導數題中不等式證明問題通常都是綜合利用導數研究極值、最值結論和不等式的放縮結果，在證明過程中，可以適當地使用證明的分析法、綜合法、反證法等，對學生的綜合能力要求較高，特別是數學運算和邏輯推理能力，同時還需要有較強的創新意識.此類考題具有良好的選拔功能.

3若干教學啟示

3.1回歸教材：實基礎

導數的應用是高中數學的核心內容之一，也是高考的重點與熱點.從近幾年高考試題來看，以三次函數模型為載體的導數解答題出現的頻率越來越高，由于此類問題在教材中有相應的原型，這就要求我們在平時的教學中應注重回歸教材，夯實基礎，跳出題海戰術，回歸學科內涵，而非一味地好高騖遠.

3.2關注本質，把握規律

回歸數學本質是高考命題的必然趨勢，因此，關注數學本質應是教學上的重中之重.關注知識的本質特征，關注知識間的內在聯系，關注公式定理的形成過程，應成為教學過程中的核心內容.通過對近幾年高考試題的分析可以發現，導數的應用立足于教材，著重考查利用導數解決函數的單調性與極值、最值、零點、恒成立、不等式證明等問題，蘊含了轉化與化歸、分類討論、數形結合、函數與方程等思想方法.看起來花樣繁多，但萬變不離其宗，如果能從基本的數學模型入手，深刻理解其圖象的特征及基本性質，再借助于數學思想方法，就可以輕易破解此類問題.

3.3落實課堂，培育素養

導數的應用問題常出現在試卷的壓軸位置，主要考查學生的運算與邏輯推理能力.在實際教學過程中，教師往往更加關注與指數、對數有關的導數問題，卻忽略了一些更為常見或簡單的函數模型.而近幾年的高考題，反復出現了利用導數研究三次函數的問題，因此，教師在教學過程中，要避免過度變式，應更注重教材內容的深層挖掘，強調知識的應用，鼓勵學生勤動手、勤反思，多運算、多思考，培育學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學學科核心素養.

總之，利用導數研究三次函數的高考試題，依據學業質量標準和課程內容，以素養為落腳點，考查學生對基礎知識和基本方法的掌握程度，考查學生對重要數學思想方法的理解程度，考查學生在日常學習中數學活動經驗的積累程度，對教學發揮了正確的導向作用.