泰勒公式在高中數學命題中的應用

孫一航 劉小輝

在各類高中數學測試題和高考題中，自然對數的底e的泰勒展開式及其變式是命題的一個重要出發點.本文簡要介紹泰勒公式和自然對數的底e，并結合例題分別呈現出利用泰勒公式進行高中數學解題的思想和方法.最后，得到融入泰勒公式的高中數學命題的一般模式，總結命題思想及體現數學素養.

評注 本題考查函數、導數、不等式、二項式定理，這是一道典型的綜合題.作為壓軸題它具備一定的難度，但究其考察的知識內容與思想方法依然是在學生的能力范圍之內.第（1）問只需套用二項式定理公式即可解答;第（2）問則需要綜合運用到求導、均值不等式和放縮、構造函數等數學思想方法;第（3）問則考察學生的二項展開式的計算和變形.同時，本題滲透了極限、收斂的思想，可以說是一道不錯的高考題.

從高觀點的角度來看本題第（2）問，我們可以發現對任意函數進行泰勒展開，只需要保證f（x）與f″（x）為非負均可得到我們要證明的結果，我們并不需要用到f（x）的具體表達式，也就是說這個結論是一般性的.命題者將一般性的結論引進到特定的函數之中，這就是命題者命題的出發點，并且得到的式子的結構整齊對稱.此題對學生來說是陌生的，跟他們之前做過的題目會有所不同，這會使學生感到困難，在考試中造成一定的心理壓力.他們通常會按部就班地將證明中所涉及的導數都求出來再去尋找下一步的解題方向……