懸鏈線 一條神奇的“微笑”曲線

張飛

“你去過網紅城市重慶嗎？”

“去過，我還打卡了洪崖洞、李子壩、長江索道等景點，也見證了重慶的橋都文化，親身去看了重慶長江大橋、千廝門大橋、寸灘長江大橋，等等。”

“那你知道橋梁中的拱門、懸索等主要采用什么樣的曲線形式呢？”

“拋物線？”

“不對！再問你一個問題，你知道項鏈自然下垂形成的曲線的數學形式嗎？”

“雙曲線？”

“也不對。”

“那它們該叫什么？”

其實，這類像在“微笑”的曲線，你肯定見過，只是不一定知道它們叫什么。它們的大名叫“懸鏈線”，是連達·芬奇都稱“奇”的一條曲線，也是我們今天這篇文章要介紹的主角。

170年未解之謎

什么是懸鏈線呢？懸鏈線指的是一種曲線，為兩端固定的均勻、柔軟的繩索、鏈條等在重力的作用下所具有的曲線形式，如懸索橋、電線等。

對懸鏈線數學形式的探討，最早可追溯至文藝復興時期，和“文藝復興三杰”之一的達·芬奇有著莫大的關系。達·芬奇不僅是意大利的著名畫家，還是數學家、物理學家和機械工程師。他的經典作品之一—《蒙娜麗莎》給世界帶來了永恒的微笑。在創作這幅名畫時，作為數學家和畫家的達·芬奇通過各種精確的數學計算，來確定人物的比例結構以及半身人像與背景間關系的構圖問題。這樣的精細化思維使得他在創作《抱銀貂的女人》時想到了一個問題：固定項鏈的兩端，使其自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么曲線？這便是著名的懸鏈線問題。可惜的是，達·芬奇還沒有找到答案便去世了。

懸鏈線問題的提出，在數學史上引起了不小的爭議。很多人從直觀上認為它是一條拋物線，因為兩者看起來的確很相似，就連意大利物理學家伽利略也是這么認為的。他在1638年撰寫的《兩個新科學》（Two New Sciences）一書中提出，懸鏈線可能就是一條拋物線。與伽利略同時期的法國數學家、哲學家笛卡爾也有類似的猜測。他在自己的筆記中注釋過，懸鏈線可能是某種圓柱曲線，并把拋物線和雙曲線都放進了懷疑名單中。此后的幾十年，幾位數學家通過不同的方式證明了懸鏈線不等同于拋物線。1646年，荷蘭物理學家惠更斯通過物理學方法證明這條曲線不是拋物線，但未能給出具體的數學函數形式。1669年，德國數學家約阿海姆·永第也給出了懸鏈線不是拋物線的結論。

隨著自然常數e和微積分方法的出現，1690年，時間跨度長達170年的懸鏈線問題終于被惠更斯、萊布尼茨、約翰·伯努利解決，從而確定了懸鏈線的數學形式—雙曲余弦函數。

憑借推出了懸鏈線表達式，約翰·伯努利開始公開嘲笑哥哥雅各布·伯努利，他說，自己只犧牲了“整整一晚”的休息時間就找到答案，而雅各布與這道題持續搏斗了整整一年。史上第一數學天（家）團（族）的愛恨情仇大戲就此拉開。當然，這是另外一個故事。

我們還是回過頭來繼續認識懸鏈線。

古人巧用懸鏈線

在早期的研究中，懸鏈線主要被用于建筑學和力學領域。如今，世界各地仍有許多著名的懸鏈線建筑，如美國密蘇里州192米高的圣路易斯拱門、華盛頓杜勒斯國際機場的主航站樓和我國四川的瀘定橋等。

懸鏈線的數學形式分為兩種：一種是普通懸鏈線，其數學形式為雙曲余弦函數；另一種是等強度懸鏈線，其數學形式為對數余弦函數。顧名思義，等強度懸鏈線指曲線上每一個點的受力相同，因此，在理想條件下，它每一處的抗斷能力都是恒定的。所以，有人很快想到，如果把等強度懸鏈線翻轉，那么形成的結構也能很好地承受自身的重力。相比于普通懸鏈線，等強度懸鏈線具有更好的力學特性，但在實際建設過程中也更困難，所以很少有符合等強度懸鏈線的橋梁和拱門。

特別需要說明的是，雖然懸鏈線函數是由歐洲學者給出的，但懸鏈線形狀的橋梁最早出現在我國。早在公元前3世紀，四川成都的都江堰即出現了竹制懸索橋—安瀾索橋。安瀾索橋最早被稱為繩橋或竹藤橋，與趙州橋、盧溝橋、湘子橋和洛陽橋并稱為我國著名的五大古橋。清嘉慶八年（1803年），何先德夫婦倡議修建竹索橋，以木板鋪面，旁設扶欄，兩岸行人可以安渡狂瀾，故更名“安瀾橋”。

另外，在我國江南水鄉的浙江紹興，人們發現了迄今為止我國最古老的近似于懸鏈線拱的石拱橋—迎仙橋。該橋在明萬歷《新昌縣志》中有載。由此看來，我國的造橋歷史悠久，技術高超，古人們在很早以前便在橋梁建設中運用了懸鏈線。不過，古人并不知道懸鏈線這種數學曲線，他們只是從實踐中反復摸索、總結出此類橋梁的建造技巧。

懸鏈線除了存在于橋梁、拱門等建筑中，還存在于娛樂游戲中，如有趣的方輪車游戲。如果讓方輪車在馬路上行駛，那一定會顛簸不堪。那么，有沒有辦法可以讓方輪車平穩前行呢？答案是肯定的。只要讓波浪軌道符合一段一段的懸鏈線方程，方輪車便可在顛簸的路面上平穩行駛。事實上，該結論還可以拓展到任意多邊形車輪。

從力學到光學

從前文可知，懸鏈線問題起源于達·芬奇對項鏈的曲線形式的思考。在過去這些年里，主要在力學應用中發揮作用。科學家們發現，在諸多形式的懸鏈線中，有一種“等強度懸鏈線”（對數余弦函數）可以保持結構在不同的位置受力一致。那么，它施加到光上的“力”是否也一致呢？

2015年，中國科學院光電技術研究所微細加工光學技術國家重點實驗室的科研人員，受橋梁、拱門等建筑大量運用懸鏈線結構的啟發，就有關問題進行了研究。

要了解有關研究，我們先來簡單認識一下光波。相位、偏振和振幅是光波最基本的三個物理屬性。在生活中，最常見的是對光的相位進行調控，如照相機鏡頭就是通過改變鏡片的厚度引入不同的相位延遲，從而對光的波前（指等相位面）進行調控，最終實現聚焦等功能。

傳統光學元件需要依賴曲面面形對光束進行調控，因此存在系統笨重、繁雜等諸多問題。在微納光學領域，研究人員通過改變亞波長結構的幾何形貌和排列方式，即可在平面上實現對波前的靈活調控。利用亞波長結構來調控相位的原理有多種，其中與懸鏈線相關的是幾何相位原理。

2015年，研究人員通過對等強度懸鏈線進行數學分析后發現，在圓偏振光入射時，懸鏈線結構可以產生絕對線性的幾何相位分布，也就是說，相位梯度是一個常數，因此，對光的“力”是一致的。直觀的調制效果就好比一個棱鏡讓光發生偏折，即通過改變懸鏈線結構的跨度，可以調節相位梯度大小，從而實現光的任意偏折角度。

與傳統棱鏡不同，懸鏈線結構不僅是平面的，而且具有偏振響應特性。如果左旋圓偏振光偏往左側，那么右旋圓偏振光則偏往右側。這是因為懸鏈線結構對左右旋圓偏振光產生的相位梯度（即對它們的“力”）是相反的。實現上述左右旋圓偏振光分離的手性響應現象被稱為光子自旋霍爾效應。由于絕大多數生物所需的營養素，如氨基酸和葡萄糖，其分子結構都具有固有的手性特征，因此，自旋霍爾效應在手性分析、生命探測等領域都具有應用前景。

利用單個或者周期性的懸鏈線結構能實現光束偏折，那么，通過將不同跨度的懸鏈線結構按照一定規律排布，可以實現更多的功能。譬如，利用“蜘蛛網”分布的懸鏈線結構可以生產完美的渦旋光，讓光像水渦旋一樣“轉起來”，可用于操控和捕獲微粒。渦旋光攜帶軌道角動量，判定軌道角動量大小的物理量被稱為拓撲荷。理論上，拓撲荷可以是負無窮到正無窮，因此，渦旋光在光通信中也具有重要的應用價值。

不僅如此，基于懸鏈線結構還可實現一系列平面光學器件，如平面聚集鏡、貝塞爾光束產生器、艾里光束生成器等。當然，對于傳統光學元件，若要實現上述功能，通常需要毫米甚至厘米量級的厚度，且需要曲面面形，而懸鏈線結構的厚度小于波長，尤其是對于可見光波段，僅為納米量級。因此，懸鏈線結構為光學器件和系統實現輕量化、平面化、集成化提供了一種新的技術方案。

那么，相比于普通離散結構，懸鏈線結構有何優勢呢？通俗地講，由懸鏈線結構構成的微納光學器件對光的調制效果就像一張超高分辨率的圖片，離散結構則會極大程度降低圖片分辨率，使得圖片呈現出馬賽克形貌，導致人們無法從中得到細節信息。當然，減小離散結構的周期確實可以提高波前采樣率，但是這也會加大工藝難度，最終使得其光學性能降低。懸鏈線結構則可以很好地兼顧光學器件的性能和工藝可行性，因此被認為在下一代平面光學領域具有重要作用。

從光學到電磁學

隨著對懸鏈線光學研究的不斷深入，研究人員從懸鏈線結構拓展到懸鏈線電磁調控物理模型，用于揭示亞波長結構與電磁波相互作用的物理機理，并進一步將懸鏈線光學的概念推廣到懸鏈線電磁學。

研究發現，金屬亞波長結構間的電場和磁場強度的分布可以用懸鏈線函數表述，結構的色散方程也可用懸鏈線函數表述。通過建立結構尺寸與其懸鏈線場和懸鏈線色散的數學關系，能夠快速得到一些亞波長結構的電磁響應特性，包括振幅、相位、電磁場分布等。通常情況下，微納器件的設計常常采用專業電磁場仿真軟件，使用參數掃描和人工擇優的正向設計方法。該方法存在耗時長、難以最優化等問題。在未來的研究中，懸鏈線電磁模型若與深度學習、人工智能等計算機技術結合，有望實現微納器件的快速逆向設計。也就是說，研究人員只需要輸入目標函數，計算機就會反饋結構形貌。

基于構建的懸鏈線電磁模型，研究人員發展了一系列功能材料和器件，例如跨波段電磁調控器件、虛擬賦形材料、薄膜天線等。目前，對懸鏈線光學的研究還在持續，更多的新現象和新應用還有待發現。我們有理由相信，今后還會發現更多與懸鏈線相關的新奇現象和應用。

歷史上，許多重要的科學突破均源于對自然界普遍現象的深入思考，懸鏈線就是最好的例子。從最初對項鏈曲線形式的簡單思考，發展到對相關數學問題的深入研究，再到建筑學領域的廣泛應用。又因科研人員的奇思妙想，將懸鏈線引入微納光學領域，并形成懸鏈線光學，為亞波長電磁學研究奠定了一定的理論基礎。未來，當你看到諸如脖子上的項鏈、天空中的電纜、樹枝上的蜘蛛網時，是否會想起懸鏈線呢？或者，當你再次踏足安瀾索橋或者游覽迎仙橋時，除了被我國古人的智慧所震驚，是否還會帶給你其他的啟發與思考呢？