化歸方法及在中學數學教學中的應用

高超

【摘要】中學數學離不開化歸思想.在數學的解題方法中，化歸思想對于提高解題效率、提高學生分析問題和解決問題的能力具有重要的作用.本文將結合數學教法，通過案例分析化歸思想在教學中的應用，討論在教學中如何加強化歸思想方法的滲透以及在滲透化歸方法時應注意哪些問題等，并提出加強化歸思想的教學對策，從而培養學生的化歸意識和學習能力.

【關鍵詞】化歸方法;中學數學;教學;應用

一、化歸思想在數學新知識學習中的應用

化歸思想在數學新知識學習中的應用很廣，我們對新概念的學習往往是建立在舊知識的基礎上的.例如，我們對代數的學習是從研究簡單的數、式開始的，對于復雜的數、式，也是通過變換，將其歸結為簡單的數、式，進而解決問題的.在解一元一次方程組和一元二次方程時，仍離不開解一元一次方程，其解決問題的方法就是將問題轉化為一元一次方程，然后解一元一次方程，從而得到問題的解.新知識與舊知識之間的聯系，關鍵的一步就是轉化.在數學中有一種重要的證明方法：數學歸納法，它也離不開化歸法.

二、化歸思想在教學中的滲透

數學教材體系的靈魂是數學思想，數學思想能夠將數學概念、數學命題以及數學問題解決結合在一起，從而形成一個比較完善的體系.在高中數學教材中，化歸思想方法出現的頻率也比較高，并且滲透到了各個環節中.有些教師教學的時候非常重視做題量，自己做題比較多，也要求學生做大量的題目，為了做題而做題，對于學生解題能力的培養不夠重視.做題不是沒必要，深厚的解題功底是掌握數學知識的基礎，但是我們不能只停留在這個初級階段，還要理解這些操作背后的思想方法.一般情況下，數學問題的解答往往是通過已知條件來轉化問題，從而達到解決問題的目的.教師在引導學生利用化歸思想解答問題的時候，需要先對題目解答的過程和步驟進行分析，找到每一步的主要內容和作用，將其組織成為一個整體，然后對學生進行引導，幫助學生找到解答問題的辦法和實質，在這種情況下，化歸思想的作用便會比較明顯.教師以此為基礎將化歸方法講解給學生，然后通過化歸方法來解答題目，這樣能夠幫助學生更好地掌握這種方法.

學生在學習數學的時候，知識的深化是逐步進行的，這也導致知識發展的不同階段所反映出的數學思想也各不相同，這也能夠將數學思想方法所具有的層次性體現出來.在解答問題的時候，我們經常會遇到需要多次化歸的情況，并且有時候化歸的方向是不一樣的.這便要求我們在應用化歸方法的時候，必須重視不同階段知識再現的情況，和學生一起研究在不同階段中化歸方法形成的整個過程，這樣能夠啟發學生的思維，幫助學生更好地認識化歸思想.化歸思想方法本身便是在學生思維啟發的過程中慢慢形成的.所以，教師在教學的時候，首先需要重視問題解決之后的反思，通過這個過程來進行化歸方法的提煉.在這種情況下，學生很容易了解、接受和掌握化歸方法.并且在這個過程中，我們還需要認識到化歸思想方法滲透需要較長的時間，其無法在短期內幫助學生提高能力.學生想要真正掌握化歸思想方法必須不斷訓練，循序漸進地進行.

三、化歸思想在解題中的應用

化歸思想在數學解題中的應用比比皆是.立體幾何中相關的證明題、計算題，我們多將其轉化到平面幾何中來解決，或者將其轉化到向量空間中去解決;多數三角函數的計算題或證明題，我們若直接解決會感到很吃力，若換個角度，運用數形結合的思想，將抽象的問題轉化到直觀的圖形中，解決起來就容易多了;對復雜、非特殊的數列的求和問題，我們也是將其轉化為較為簡單、特殊的數列進行求和.多數數學問題的解決都離不開化歸思想方法，只是所體現的形式不同罷了.總體來說，我們在解數學題時，計算題是利用規定的法則進行化歸，證明題是利用公式、定理或已經證明了的命題化歸，從而使問題得以解決.

（1）將未知的問題轉化歸結為已知的知識

把不知道的問題轉化成為已經掌握的知識，并將二者結合在一起，然后通過較為熟悉的方法和知識進行新問題的解答，這種轉化方式起到的效果比較好.比如，要求空間兩條異面直線所成的角，在這種情況下，我們只需利用平行線進行轉化，將其轉化成為我們比較熟悉的兩相交直線所成的角即可.

例1 如圖1所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線AC，BD相交于O點，且AC⊥BD，AD=3，BC=5，求AC的長.

圖1

分析 此題是根據梯形對角線互相垂直的特

點，通過平移對角線將等腰梯形轉化為直角三角

形和平行四邊形，使問題得以解決.

解 過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，則得AD=CE，

AC=DE，所以BE=BC+CE=8.

∵AC⊥BD

∴BD⊥DE

又∵AB=CD

∴AC=BD

∴BD=DE

在Rt△BDE中，BD2+DE2=BE2

∴BD=42，即AC=42.

（2）將復雜問題轉化歸結為簡單問題

在數學問題解答中，將較為復雜的問題簡單化是非常普遍的一種方法.若一個問題很難直接解決，那么，我們可以對其進行深入的研究和觀察，將其轉變成為比較簡單的問題，然后再進行求解.特別是將正向思維轉變成為逆向思維很有意義，若教師經常對學生進行引導，讓其注意問題的分析，并讓其逆向思考問題，這樣不但能夠幫助學生更好地理解相關的逆向知識，還能讓學生的思維更加靈活.

例2 已知x2+x-1=0，求x3+2x2+2009的值.

分析 此題通過“化零散為整體”或利用降次來轉化，可使問題得以解決.

解法一 ∵x2+x-1=0

∴x2=1-x

∴x3+2x2+2009=x（1-x）+2（1-x）+2009