對角矩陣研究

閆偉文

【摘要】對角矩陣是一種特殊的簡單矩陣，具有重要的性質與潛在的應用價值.本文重點總結了對角矩陣的計算、性質及相似對角化，進而推廣到分塊對角矩陣.

【關鍵詞】對角矩陣;相似對角化;分塊對角矩陣

【基金項目】山西省教育科學十三五規劃2020年度互聯網+教育研究專項課題+服務人工智能專業發展的大學數學課程體系建設研究（HLW-20145）

對角矩陣作為一種特殊的矩陣，有其獨特的運算及性質，是解決線性代數問題的一個重要工具.本文主要從對角矩陣的定義、運算、性質、相似對角化四個方面來研究對角矩陣，進而推廣到分塊對角矩陣.

一、對角矩陣的定義

形如矩陣A=a11a22ann（主對角線元素aiii=1，2，…，n不全為零，其余元素全為零）的方陣，稱為對角矩陣.

二、對角矩陣的運算

1.線性運算.

（1）加法運算.

設對角矩陣A1=a11a22ann，A2=b11b22bnn，則矩陣A1±A2=a11±b11a22±b22ann±bnn，此為對角矩陣的和矩陣，即兩個對角矩陣的和為這兩個對角矩陣主對角線元素對應求和.

（2）數乘運算.

設對角矩陣A=a11a22ann，k為非零實數，則矩陣kA=ka11ka22kann，此為非零實數與對角矩陣的乘積，即數乘對角矩陣，數要乘到其主對角線的所有元素上.

2.乘法運算.

（1）兩個同階對角矩陣相乘.

設對角矩陣A1=a11a22ann，A2=b11b22bnn，則矩陣A1A2=a11b11a22b22annbnn，即兩個同階的對角矩陣相乘，為其主對角線元素對應相乘，可將其推廣到n個同階對角矩陣相乘.

（2）對角矩陣的冪.

設對角矩陣A=a11a22ann，m為非零自然數，則矩陣Am=a11ma22mannm為對角矩陣的m次冪，即主對角線上各元素的m次冪.

（3）對角矩陣乘同階矩陣.

設對角矩陣A=a11a22ann，矩陣A1=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann，則矩陣

AA1=a11a11a11a12…a11a1na22a21a22a22…a22a2nannan1annan2…annann，A1A=a11a11a22a12…anna1na11a21a22a22…anna2na11an1a22an2…annann，即左乘對角矩陣相當于給矩陣每一行乘對角矩陣相應的對角線元素，右乘對角矩陣相當于給矩陣每一列乘對角矩陣相應的對角線元素.

（4）對角矩陣的轉置運算.

設對角矩陣A=a11a22ann，則轉置矩陣為AT=a11a22ann，即AT=A.

（5）對角矩陣的行列式運算.

設對角矩陣A=a11a22ann，則其行列式A=a11a22ann=a11a22·…·ann，即

對角矩陣的行列式為主對角線上各元素的乘積.

（6）對角矩陣的逆.

設對角矩陣A=a11a22ann，若對角線上各元素a11，a22，…，ann均不為零，則此對角矩陣可逆，

且其逆矩陣為A-1=a-111a-122a-1nn.

證明：由題知，對角線上各元素a11，a22，…，ann均不為零，則存在對角矩陣A-1=a-111a-122a-1nn，使得AA-1=a11a22anna-111a-122a-1nn=a11a-111a22a-122anna-1nn=111=E，則對角矩陣是可逆的，且其逆矩陣為A-1=a11-1a22-1ann-1.

三、對角矩陣的性質

1.對角矩陣是行數列數相等的矩陣，即對角矩陣是特殊的方陣，也是特殊的上下三角矩陣.

2.對角矩陣當主對角線元素全相等時，是數量矩陣，即數量矩陣是特殊的對角矩陣;當主對角線元素全為1時，是單位矩陣，即單位矩陣是特殊的數量矩陣，也是特殊的對角矩陣.

3.對角矩陣線性運算、冪運算、逆運算后仍為對角矩陣.

4.對角矩陣是可交換的.

5.對角矩陣是對稱矩陣.

6.對角矩陣的秩為其對角線上非零元素的個數.

7.對角矩陣A=a11a22ann的特征值為a11，a22，…，ann，其特征向量為n維基本單位向量e1，e2，…，en，其中，e1=100，e2=010，…，en=001.

8.對角矩陣A=a11a22ann的跡為tr（A）=a11+a22+…+ann，即對角矩陣的跡為主對角線上非零元素的和.

9.對角矩陣的Jordan標準型即為其本身.

四、相似對角化

1.相似對角化的定義.

若n階方陣A1與對角矩陣A=a11a22ann相似，則稱A1可對角化.

2.相似對角化的條件.

（1）充要條件：

n階方陣A有n個線性無關的特征向量;

每一個ni重特征根λi，矩陣λiE-A的秩是n-ni.

（2）充分條件：n階方陣A有n個互不相同的特征值.

相似是方陣間的一種關系，兩個矩陣相似了，具有很多優越性質，如相似矩陣具有相同的行列式、秩、可逆性、特征多項式、特征值等.若一個矩陣能相似于一個簡單的對角矩陣，則相似對角化的意義就更重大了.

【參考文獻】

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