探究偶數與素數之間的聯系

王國昌

【摘要】素數定理描述了素數在整數中的分布特點，哥德巴赫猜想告訴人們：大于4的偶數都可以用兩個素數之和表示.本文闡明了可以用不等式描述一個大于4的偶數由兩個素數之和表示的不同情況的個數.

【關鍵詞】素數定理;哥德巴赫猜想;素數;偶數

一、引 言

素數表面看上去很簡單，但當你深入了解它的時候，你會感到它其實神秘而深奧. 有關素數的性質非常少，但應用它的地方卻很多.如果你把你的猜想賦予給它的時候，它會讓你高興一會兒或很長一段時間，在你認為它正確的時候，它會給你迎面潑一盆冷水. 對于命題“大于4的偶數一定能用兩個素數之和表示”，在思考的過程中，雖然沒有找到證明它的方法，卻總結出與這個命題相關的命題，并且認為這個命題有一定的實用價值.

二、命題及概述

命題：任何一個大于或等于4的偶數x都可以寫成兩個素數之和，設這個偶數能寫成兩個素數之和的個數為c，則c≥Π（x）-π2 其中Π（x）為小于x的素數的個數，Π（x）-π2表示不大于Π（x）-π2的最大整數.

在命題中之所以用Π（x）-π2來表示偶數能寫成兩個素數之和的個數，是想以此來說明偶數與比它小的素數的個數之間存在某種聯系. 隨著偶數的不斷增大，素數的個數也逐漸增加. 在公式c≥Π（x）-π2中，根據素數定理可知，從整體上看，隨著偶數的逐漸增大，素數的個數Π（x）逐漸增大[1]，則Π（x）-π2也逐漸增大.

對于這個命題，當x≥18時，素數的個數Π（x）≥7，此時，Π（x）-π2≥1符合哥德巴赫猜想. 因此，命題符合哥德巴赫猜想，是對哥德巴赫猜想的一個補充說明. 同時，從另外一個角度說明，雖然隨著整數的不斷增加，素數在整數中的密度會逐漸減小，但是，由于素數的內在特性，使得任何一個偶數x隨著偶數的增大，它能寫成兩個素數之和的可能性也會逐漸增大.用兩個素數之和表示偶數時，帶有一定的偶然性，當偶數較小時對結果影響較大，為了修正這種偏差，在公式中用了Π（x）-π2，使計算的結果更能反映內在的規律.

下面列舉4—2000之間的部分有代表性的偶數寫成兩個素數之和的情況，其中b=Π（x）-π2，c表示偶數用兩個素數之和表示的實際的個數.

4=2+2;c=1，b=2-π2=-1.

6=3+3;c=1，b=3-π2=0.

8=3+5;c=1，b=0.

10=3+7=5+5;c=2，b=0.

12=5+7;c=1，b=0.

14=3+11=7+7;c=2，b=0.

16=3+13=5+11;c=2，b=6-π2=0.

18=5+13=7+11;c=2，b=7-π2=1.

20=3+17=7+13;c=2，b=1.

22=3+19=5+17=11+11;c=3，b=1.

24=5+19=7+17=11+13;c=3，b=1.

26=3+23=7+19=13+13;c=3，b=1.

28=5+23=11+17;c=2，b=1.

30=7+23=11+19=13+17;c=3，b=1.

32=3+29=13+19;c=2，b=1.

34=3+31=5+29=11+23=17+17;c=4，b=1.

36=5+31=7+29=13+23=17+19;c=4，b=1.

38=7+31=19+19;c=2，b=1.

40=3+37=11+29=17+23;c=3，b=12-π2=1.

42=5+37=11+31=13+29=19+23;c=4，b=13-π2=2.

44=3+41=7+37=13+31;c=3，b=2.

46=3+43=5+41=17+29=23+23;c=4，b=2.

48=5+43=7+41=11+37=17+31=19+29;c=5，b=2.

50=3+47=7+43=13+37=19+31;c=4，b=2.

52=5+47=11+41=23+29;c=3，b=2.

54=7+47=11+43=13+41=17+37=23+31;c=5，b=2.

56=3+53=13+43=19+37;c=3，b=2.

58=5+53=11+47=17+41=29+29;c=4，b=2.

60=7+53=13+47=17+43=19+41=23+37=29+31;c=6，b=2.

62=3+59=19+43=31+31;c=3，b=2.

64=3+61=5+59=11+53=17+47=23+41;c=5，b=2.

66=5+61=7+59=13+53=19+47=23+43=29+37;c=6，b=2.

68=7+61=31+37;c=2，b=2.

70=3+67=11+59=17+53=23+47=29+41;c=5，b=2.

72=5+67=11+61=13+59=19+53=29+43=31+41;c=6，b=20-π2=2.

74=3+71=7+67=13+61=31+43=37+37;c=5，b=21-π2=3.

…

126=13+113=17+109=19+107=23+103=29+97

=37+89=43+83=47+79=53+73=59+67;c=10，b=3.

128=19+109=31+97=61+67;c=3，b=31-π2=3.

…

500=13+487=37+463=43+457=61+439=67+433

=79+421=103+397=127+373=151+349=163+337

=193+307=223+277=229+271;c=13，b=95-π2=8.

…

1004=7+997=13+991=37+967=67+937=97+907=127+877

=151+853=181+823=193+811=271+733=277+727=313+691

=331+673=373+631=397+607=433+571=457+547=463+541;

c=18，b=168-π2=11.

…

通過上面這些計算會發現，計算的結果符合命題. 雖然c的值波動較大，但c的較小的值與相應的b的值比較接近，且總有c≥b. 在局部，隨著偶數的增大，c有時增大，有時減小，會經常出現反復，但整體上呈現增大的趨勢.雖然這些數據還不夠多，但足以說明命題是正確的. 對于較大的偶數由于受篇幅的影響，沒有列舉，但這并不影響命題的成立. 況且數學本身就有由小及大、由點及面的描述和預測的功能.

從公式中可以看出，對于幾個連續偶數：x1，x2，…，xk， 如果小于它們的素數都是m個，理論上這幾個偶數用兩個素數之和表示的個數都大于或等于m-π2個， 即這幾個偶數用兩個素數之和表示的個數與它們的數值大小無關，但與小于它們的素數的個數有關.素數在整數內的分布是隨機的，但由于素數的定義的約束，使得素數在整數內的分布不是簡單的隨機，而是一種非常嚴格的隨機. 這種嚴格的隨機使得素數表面看起來雜亂無章，但若仔細探究又非常有序，使得素數在數學領域的應用非常廣泛.

我們可以推想到，對于所有的偶數，命題的結論都是正確的. 在這些數據中，偶數能寫成兩個素數之和的個數的實際數值c常常比計算的數值b高出許多，但實際數值c的波動性較大，而結論c≥b卻總能成立，這恰好說明計算b是必要的，只有b才能真正反映出偶數寫成兩個素數之和的個數存在的規律.

隨著偶數的增大，素數在整數中的密度會越來越小，很多人擔心當偶數足夠大時，會有較少的偶數不能用兩個素數之和表示. 根據素數的定義，要想知道一個整數是不是素數，可以用這個整數除以小于或等于這個整數的所有正整數，如果這個整數只能被1和它本身整除，那么這個數就是素數. 因此，每一個偶數都與小于它的所有素數保持著緊密的聯系.再者，對于素數數列{2，3，5，7，11，13，…，ak，…}，當素數由k個增加到（k+1）個時，用兩個素數之和生成的偶數的個數增加：（k2+1）-[（k-1）2+1]=2k-1（個）. 而且，增加的偶數大于ak+1且小于或等于2ak+1，并依此嚴格循環. 由于素數在整數中的密度減小得非常緩慢，而偶數由兩個素數之和生成的個數卻能較快地增多，而且增多的這些偶數都有一定的約束條件，對每一個偶數幾乎都是公平的.相當于生成的偶數對區間內的偶數進行覆蓋，而且偶數越大，被覆蓋的次數可能越多. 因此，我們不必擔心個別較大的偶數不能用兩個素數之和表示，而且，當偶數越大，它能用兩個素數之和表示的機會也越大. 基于以上這兩點考慮，素數的分布雖然具有隨機性，但這種隨機是受一定條件約束的，對每一個整數都是公平的，是一種非常嚴格的隨機. 長期以來，人們通過各種方法驗證，都認為哥德巴赫猜想是正確的，只是需要一個時間點或一個契機，進行完整的證明. 所以，我們不僅要關注大于4的偶數是否一定能用兩個素數之和表示[2]，還應該有一部分人需要避開這個難點，去關注一個大于4的偶數用兩個素數之和表示時可能有多少種情況.

三、結 論

綜合上面的討論，我們可以得到下面的結論，這個命題應該是正確的，即命題：偶數不但能用兩個素數之和表示，而且表示的個數與小于這個偶數的素數的個數之間也有一定的聯系.

在數學上有許多定理都是先提出后證明的，費馬大定理由17世紀法國數學家費馬提出，經過了很多年，直到1995年才被證明是正確的.哥德巴赫猜想是在1742年被提出的，直到現在仍然沒有得到完整的證明. 發現規律、證明規律和運用規律有時是各自獨立的，有時又是相互統一的.

整數是數學的基礎，素數是整數中有特殊性質的整數，是整數中很重要的成員. 對素數進行了任何一點點深入的了解，對數學的發展都會起到一定的作用.

【參考文獻】

[1] 蔡同靈. 數學的學習與研究[J]. 綿陽師范高等專科學校學報（自然科學版）， 1996（S1）： 13-20.

[2] 程潔. 對哥德巴赫猜想的論證[J]. 數學學習與研究， 2019（15）：150.