空間解析幾何作圖的若干結論及其應用

欒金鳳

【摘要】空間解析幾何是高等數學課程中最重要和最基礎的內容.由于受空間想象能力所限，學生認為空間解析幾何題較難.本文對柱面、旋轉曲面、二次曲面和曲線在坐標面上的投影分別進行了總結.掌握這些結論，考生不再畏懼此類題，同時這四個結論可以很好地建立代數與幾何之間的橋梁.

【關鍵詞】柱面;旋轉曲面;二次曲面;伸縮法;曲線;投影

在高等數學中空間解析幾何把向量作為基本出發點，建立空間直角坐標系，建立空間圖形，為學習多元函數的圖像和多元函數微積分的內容做了一個很好的鋪墊.

空間解析幾何主要解決兩個基本問題：（1）已知一曲面，建立該曲面的方程;（2）已知一方程，研究該方程表示的圖形的形狀.柱面和二次曲面屬于問題（2）;旋轉曲面和曲線在坐標面上的投影屬于問題（1）.由于空間解析幾何內容的重要性和為讓學生在課堂上很好地掌握這部分知識，本文提出了結論1、結論2、結論3和結論4.這些結論具有簡便、容易記憶的特點.

一、柱面

定義1：一般地，直線L沿定曲線C平行移動形成的軌跡叫做柱面，定曲線C叫做柱面的準線，動直線L叫做柱面的母線.

結論1：柱面方程中不含什么字母，在相應的圖形中，母線平行于該字母所對應的軸.

在三維空間中，方程F（x，y）=0中不含字母z，則應用結論1，柱面圖形中的母線平行于z軸（如圖1）.

圖1 柱面

例1 下列曲面中，（? ）的母線與z軸平行.

A.z=1

B. x2+y2+z=1

C.x2+y2+z2=1

D. x2+y2=1

解 從四個選項中可以看出，只有D選項方程中不含字母z，應用結論1，可知選D.

二、旋轉曲面

定義2：一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面，旋轉曲面和定直線依次叫做旋轉曲面的母線和軸.

結論2：坐標面上曲線L繞什么軸旋轉一周，方程中該軸所對應的字母不變，另一個字母用正負根號下其他兩個字母的平方和來代替，所得的方程就是旋轉曲面的方程.

如圖2，坐標面yOz上曲線F（y，z）=0繞z軸旋轉一周，方程中字母z不變，另一個字母y用±x2+y2來代替，所得的方程F（±x2+y2，z）=0就是旋轉曲面的方程.

圖2 旋轉曲面

例2 旋轉曲面x2-y2-z2=1是（? ）.

A.xOy平面上的雙曲線繞x軸旋轉所得

B.xOy平面上的雙曲線繞z軸旋轉所得

C.xOy平面上的橢圓繞x軸旋轉所得

D.xOy平面上的橢圓繞z軸旋轉所得

解 四個選項均是從xOy坐標面上出發考慮，所以把z=0代入旋轉曲面方程x2-y2-z2=1中得雙曲線方程x2-y2=1，排除C和D.應用結論2，若該雙曲線繞x軸旋轉，方程中字母x不變，另一個字母y用±y2+z2來代替，這樣雙曲線方程x2-y2=1就變成旋轉曲面方程x2-y2-z2=1了，故選A.

三、二次曲面

定義3：三元二次方程F（x，y，z）=0所表示的曲面稱為二次曲面.

分析二次曲面圖形往往用到截痕法和伸縮法，其中伸縮法較難.下面對伸縮法給出結論.

結論3：原圖形沿什么軸伸縮為原來的λ倍，方程中該軸所對應的字母就除以λ，其余的不變，就可以得到新圖形所對應的方程.

為說明結論3的正確性，下面用maple數學軟件作圓x2+y2=1和橢圓x24+y2=1的圖像，如圖3.

應用結論3，圓x2+y2=1變成橢圓x24+y2=1，圓沿x軸方向伸長為原來的2倍，圓的方程中字母x除以2，而y不變，即得橢圓方程.

圖3 圓和橢圓

例3 分析方程x2+y2+z2=1所對應的球面圖形變成橢球面圖形所對應的方程x222+y2+z20.52=1的過程.

解 應用結論3，首先球面x2+y2+z2=1沿x軸方向伸長為原來的2倍，方程x2+y2+z2=1中字母x除以2，其余不變，得到圖形所對應的方程為x22+y2+z2=1;然后該圖形沿z軸方向縮短為原來的0.5，同樣方程x22+y2+z2=1中字母z除以0.5，其余不變，得到橢球面所對應的方程x22+y2+z0.52=1.

四、空間曲線在坐標面上的投影

結論4：考慮曲線在什么坐標面的投影方程，需把另一個字母消去得到一個方程，同時令消去的字母等于0，建立方程組就是投影方程.

例4 設曲線C的一般方程是z=4-x2-y2，z=3（x2+y2），求曲線C在xOy坐標面上的投影C′的方程.

解 應用結論4，要求曲線C在xOy坐標面上的投影C′的方程，

需把另一個字母z消去，

得到方程x2+y2=1，

同時令消去的字母z=0，

得到投影曲線C′的方程x2+y2=1，z=0.

例5 求螺旋線x=acos θ，y=asin θ，z=bθ在三個坐標面上的投影曲線的直角坐標方程.

解 應用結論4，螺旋線在xOy坐標面上的投影，由方程組的第一個方程和第二個方程得x2+y2=a2，同時令z=0，得到投影曲線的方程為x2+y2=a2，z=0;

應用結論4，螺旋線在yOz坐標面上的投影，由方程組的第二個方程和第三個方程得y=asin zb，同時令x=0，得到投影曲線的方程為y=asin zb，x=0;

應用結論4，螺旋線在zOx坐標面上的投影，由方程組的第一個方程和第三個方程得x=acos zb，同時令y=0，得到投影曲線的方程為x=acos zb，y=0.

有時解決問題需要用到結論1、結論2、結論3和結論4中的幾個才能完成，如下面例6.

例6 分析雙曲柱面x2-y24=1圖形變成雙葉雙曲面x2-y24-z25=1圖形的過程.

解 雙曲柱面的方程x2-y24=1中不含字母z，應用結論1，柱面的母線平行于z軸;

雙曲柱面圖形繞x軸旋轉一周，應用結論2，得到的旋轉曲面方程是x2-y2+z24=1;

然后再應用結論3，旋轉曲面沿著z軸方向伸長為原來的52倍，得到雙葉雙曲面x2-y24-z25=1的圖形.

結束語

本文主要論述有關幾何的簡便、容易記憶的四個結論，提供了有關空間解析幾何中最難部分（柱面、旋轉曲面、二次曲面、空間曲線在坐標面上的投影）出現的一些題目的解決方法，希望能夠對教師的教學工作、學生掌握這部分內容有所幫助.

【參考文獻】

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