費馬大定理之絕妙證明

何海浪

【摘要】通過等比數列求和對（xn-yn），（xn +yn）一類式子進行因式分解.分析方程xn+yn=zn中數的特點，利用二項式的n次方展開式作差，結合正整數的n次方特點，再利用分析法、反證法來法證明費馬大定理.

【關鍵詞】二項式的n次方展開式;作差;正整數;正整數解

17世紀，法國費馬提出了費馬大定理，這以后，許多人想證明它并取得了一定的成就，1995年，英國懷爾斯證明了它并得到了公認.

費馬大定理的內容：關于x，y，z的方程xn+yn=zn，當n>2時，沒有正整數解.這是一個含多個未知數的n次不定方程的解的問題，該方程有四個未知數：x，y，z，n，最高項次數為n.如果正整數x，y，z含大于1的公因數，那么方程兩邊可以約去公因數;如果正整數x，y，z為方程xn+yn=zn的解且x，y，z中的任意兩個數含大于1的公因數，那么第三個數一定含這個公因數，則方程兩邊可以約去這個公因數，所以，我們只要證明約去公因數后的方程沒有正整數解即可.我們用反證法來證明：假設費馬大定理是不成立的，即關于x，y，z的方程xn+yn=zn，當n>2時，有正整數解且正整數x，y，z相互間不含大于1的公因數.

我們看方程xn+yn=zn的解：

一、n=1

如果x為正整數、y為正整數，那么z為正整數，所以方程x+y=z有正整數解.

二、n=2

由x2+y2=z2經移項后因式分解，得：

y2=（z-x）·（z+x）

=（z-x） 2·[（z+x）/（z-x）]

兩邊開平方，得：

y=（z-x）·（z+x）/（z-x）

如果方程x2+y2=z2有正整數解，那么x為正整數、y為正整數、z為正整數、（z-x）為正整數、（z+x）為正整數、（z+x）/（z-x）為正有理數.

令p2=（z+x）/（z-x） （p為正有理數）.

解得：

x=[（p2-1）/（p2+1）]·z

y=[2p/（p2+1）]·z

所以，凡是滿足x=[（p2-1）/（p2+1）]·z，y=[2p/（p2+1）]·z的正整數x，y，z都為方程x2+y2=z2的解，或者凡是滿足x=[2p/（p2+1）]·z，y=[（p2-1）/（p2+1）]·z的正整數x，y，z都為方程x2+y2=z2的解，所以方程x2+y2=z2有正整數解.

三、n>2

如果某數列為：1，y/x，（y/x）2，（y/x）3，…，（y/x）n-1，則該數列為公比是（y/x）的等比數列;如果某數列為：1，-y/x，（-y/x）2，（-y/x）3，…，（-y/x）n-1，則該數列為公比是（-y/x）的等比數列.

根據等比數列的求和公式，我們得到：

1+y/x+（y/x）2+（y/x）3+…+（y/x）n-1

=[1-（y/x）n ]/（1-y/x）

1+（-y/x）+（-y/x）2+（-y/x）3+…+（-y/x）n-1

=[1-（-y/x）n ]/[1-（-y/x）]

變形為：

[1-（y/x）n ]

=（1-y/x）×[1+y/x+（y/x）2+（y/x）3+…+（y/x）n-1]

[1-（-y/x）n]

=[1-（-y/x）][1+（-y/x）+（-y/x）2+（-y/x）3+…+（-y/x）n-1]

當n為正整數時，我們將[1-（y/x）n ]=[1-y/x]×[1+（y/x）+（y/x）2+

（y/x）3+…+（y/x）n-1]的兩邊都乘xn并化簡得到（x n-y n）分解的因式為：

x n-y n

=（x-y）×（xn-1+xn-2y+…+xy n-2+y n-1）

當n為偶數時，我們將[1-（-y/x）n]=[1-（-y/x）][1+（-y/x）+（-y/x）2+（-y/x）3+…+（-y/x）n-1]的兩邊都乘xn并化簡得到（x n-y n）分解的因式為：

x n-y n

=（x+y）×（x n-1-x n-2y+…+xyn-2-y n-1）

當n為奇數時，我們將[1-（-y/x）n]=[1-（-y/x）+（-y/x）2+（-y/x）3+…+（-y/x）n-1]的兩邊都乘xn并化簡得到（x n+y n）分解的因式為：

x n+y n

=（x+y）×（x n-1-xn-2y+…-xyn-2+y n-1）

所以（xn-y n）可以分解為（x-y）乘若干個正整數的和或分解為（x+y）乘1個正整數，因為1不可以分解為1個正整數乘若干個正整數的和，所以，如果x，y為正整數且x>y，那么xn-y n>1.因此，方程x n+yn=zn如果有正整數解，那么x>1，y>1，z>1.

當x=y時，方程x n+yn=zn的解為：

x=（n（1/2））×z

y=（n（1/2））×z

如果z為正整數，那么x，y不可能為正整數，所以x，y都相等時，方程x n+yn=zn無正整數解，因此，方程x n+yn=zn的正整數解x，y，z中必有一個最小、一個最大，z必為最大.我們假設：y=k2x+s，z=k3x+t，|s|為正整數，且|s|與x無1以外的公因數且|s|≤t，t為正整數，且t與x無1以外的公因數，且t≥|s|，k2為0或正整數，且k2≤k3，k3為正整數且k3≥k2，我們將方程xn+yn=zn變形為zn-yn=xn，如果xn可以分解為若干個數的乘積，那么每個數含有的質因數一定為x的質因數，則：