區域動態構建法在重積分計算中的應用

洪明理 張鶴翔 張麗娟

【摘要】 重積分的計算是《高等數學》課程教學的重點和難點.化重積分為累次積分的過程中，積分次序及積分限的確定是關鍵.本文通過積分域的動態構建，為積分次序和積分限的確定提供一個形象生動的途徑，使得初學者在學習過程中能做到步驟明朗，思路清晰.

【關鍵詞】重積分;累次積分;積分域

【基金項目】防災科技學院教育研究與教學改革項目（JY2018B08，2019GJJG478）

引 言

重積分的計算一直是《高等數學》教學的重點和難點.它主要是通過轉化為累次積分來計算.目前，我們主要是根據積分區域的類型把區域用不等式表示，再根據不等式將重積分轉化為累次積分.學生在自己做題的時候，思路常常不清晰，在積分限的確定和積分次序的選取上常常出錯，特別是對轉換積分次序的問題，更是理不清思路.教師講解這部分知識也特別困難.在教學過程中，筆者在原有的方法的基礎上，通過摸索教學經驗，發現站在動態構建積分域的角度，可以給學生呈現一個步驟清晰、可操作性強的轉化程序.而且，這種動態構建積分域的方法對各種坐標系下化重積分為累次積分都是適用的.本文將介紹直角坐標系下、極坐標系下和球坐標系下積分域的動態構建法及該方法在重積分計算中的應用.

一、直角坐標系下區域的動態構建

在直角坐標系下，一個二維區域可以看成是平行于x軸或y軸的動線段沿著坐標軸的正向連續移動形成的軌跡.在動線段移動前，只要確定好線段在移動過程中的兩個端點及線段的初始位置和終點位置，該區域就被完全確定.而移動中的動線段，我們又可以看成是點沿著坐標軸正向的運動軌跡，它的兩個端點正是動點的起點和終點.因此，在直角坐標下構建區域，可以歸結為兩個步驟：

1.由點沿坐標軸正向連續移動構建平行于該坐標軸的動線段;

2.由動線段沿另一坐標軸的正向連續移動構建區域.

在直角坐標系下，我們可以把這兩個構建步驟與點的坐標的變化對應起來，從而將按步驟有序地把二重積分化為二次積分 .

比如： X型區域：

1. 任給x， 讓動點由下往上（即y軸遞增的方向）移動構建垂線段.在點的運動過程中，x坐標不變，y坐標遞增，y的下界和上界分別由起點和

終點所在的邊界曲線方程確定，即x固定，y：φ（x）→ψ（x）.

2.動線段從左邊界x=a移動到右邊界x=b便唯一確定區域D， 這個過程又與x從a遞增到b相對應（此過程不僅使得線段移動，還使得線段的端點同時發生變化）， 即x：a→b.[a，b]為區域在x軸的投影.

構建好區域后，我們就可以將該區域上的二重積分按以上兩個步驟有序地轉化為二次積分.第一次積分：將x固定，對y從φ（x）到ψ（x）積分;第二次積分：對x從a到b積分，

即Df（x，y）dxdy=∫badx∫ψ（x）φ（x）f（x，y）dy.

同理， 對于Y型區域：

1.任給y，讓動點從左往右（沿x軸遞增方向）移動構建水平動線段.點在運動過程中，y坐標不變，x坐標遞增，x的下界和上界分別由起點和終點所在的邊界曲線方程確定，即y 固定，x：x1（y）→x2（y）.

2.動線段從下邊界y=c移動到y=d便唯一確定區域D.這個過程又與y從c遞增到d相對應，即y：c→d.[c，d]恰好是區域在y軸的投影.

構建好區域后，該區域上的二重積分便可按上述兩個步驟有序地化為二次積分.第一次積分：將y固定，對x從x1（y）到x2（y）積分;第二次積分：

對y從c到d積分，即

Df（x，y）dxdy=∫dcdy∫ψ2（y）ψ1（y）f（x，y）dx.

學生如果掌握了這種由點到線再到面的區域動態構建方法，并能將點和線的有向運動與坐標的變化建立對應，便能理解積分次序與點和線的運動方向有關，不同的構建方法產生不同的積分次序，也就不會發生錯誤.而積分限又可以通過點和線運動的起點和終點來確定，很直觀，容易操作.

二、極坐標系下區域的動態構建

在極坐標系下，一個二維區域可以看成是由極點出發的動射線繞極點旋轉得到的軌跡.在旋轉前，只要確定好動射線的兩個端點及初始位置和終點位置，區域就可以完全確定.我們依然可以運用建立由點到線再到面的動態構建法，并將構建步驟與極坐標的變化建立對應.

1.讓動點從極點出發，沿著極半徑遞增的方向運動構建動射線，找出與邊界的兩個交點.在運動過程中，顯然極角θ固定，極半徑r遞增，r的下界和上界分別由第一個交點和第二個交點所在的邊界曲線的極坐標方程確定，即

θ固定，r：φ1（θ）→φ2（θ）.

2.讓動射線從θ=α繞極點沿逆時針方向旋轉到θ=β便唯一確定區域D.這個過程又與θ從α遞增到β相對應，即θ：α→β.

區域構建后，我們就可以將該區域上的二重積分按以上兩步驟有序地化為二次積分.第一次積分：將θ固定，對r從φ1（θ）到φ2（θ）積分;第二次積分：對θ從α到β積分.

大部分教材都從極點與區域的位置關系分情況討論，實際上不管是哪一種情況，這種動態構建法都是適用的.

此外，這種動態構建法也適用于空間區域的構建以及三重積分的計算，對于空間直角坐標系和柱面坐標系下區域的構建和平面類似，只是動線段的移動范圍由一維的區間變成了二維的區域（空間區域在坐標面的投影），所以這里我們不再闡述.下面我們介紹一下球坐標系下區域的構建.

三、球坐標系下空間區域的構建

在球坐標系下，我們也可以運用由點到線，由線到面，由面到體的動態構建法.下面我們以球面r=R與三個坐標面在第一卦限圍成的立體Ω為例，來介紹這種動態構建法.

1.讓動點從原點出發，沿著r遞增方向運動形成穿過立體的射線（如圖4），這個過程中θ，φ固定，r遞增，r的下界和上界由射線與立體表面的兩個交點所在面的球坐標方程確定.對該區域，這個過程可描述為：θ，φ固定，r：0→R.

2.讓該射線沿逆時針方向（θ遞增方向）繞z軸旋轉形成動錐面（如圖5）.這個過程中φ固定，θ：0→π2.

3.讓動錐面從上往下（φ遞增方向）鋪開掃遍整個立體. 對該區域，這個過程對應φ：0→π2.

最后，再根據這三個構建步驟，將該區域上的三重積分有序地化為三次積分，即

Ωf（rsin φcos θ，rsin φsin θ，rcos φ）r2sin φdrdθdφ=∫π20dφ∫π20dθ∫R0f（rsin φcos θ，rsin φsin θ，rcos φ）r2sin φdr.

如果一個三重積分適合用球面坐標系計算，我們都可以利用這三個步驟構建積分域，從而將其化為三次積分.

結 語

本文從動態構建積分域的角度講述化重積分為累次積分的方法.在教學過程中，我們還可以通過動畫演示把這種構建方法形象地呈現給學生，使得原本晦澀難懂的知識變得形象生動，提高學生的課堂參與率及課堂教學效果.

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