巧用歐拉變換求一類函數的值域

王賢

【摘要】求函數值域是高考考查的內容之一，不同類型函數的值域求法也不盡相同，同一函數的值域也往往存在多種求法.針對求解某些帶根式型函數的值域，采用歐拉變換法往往能夠化繁為簡，取得事半功倍的效果.

【關鍵詞】歐拉變換;函數值域;通性通法

一、歐拉變換的介紹

在中學數學教材和教輔資料中，幾乎沒有見到關于歐拉變換的介紹.在高等數學中常通過歐拉變換將求無理函數的不定積分化為求有理函數的不定積分.

一般地，二次三項式ax2+bx+c中，若a>0，則可令ax2+bx+c=t±ax;若c>0，還可令ax2+bx+c=xt±c.這類變換稱為歐拉變換.

通過歐拉變換，能夠將某些無理式轉化為有理式，從而給運算帶來方便，下面舉例予以介紹.

二、用歐拉變換求函數值域四例

例1 求函數y=2x2+2+x的值域.

這是一道陳題，也是一道“網紅”題，筆者所了解的方法就有近十種，常見的有判別式法、導數法、不等式法，以及三角換元法等.下面我們采用歐拉變換法求此函數的值域.

分析 令x2+2=x+t，將x表示為t的表達式，進而將無理函數化為有理函數，結合基本不等式容易求得函數的值域.

解 令x2+2=x+t，解得x=2-t22t，

由x+t≥2得2+t22t-2≥0，解得t>0.

所以y=2x2+2+x=2+t2t+2-t22t=6+t22t=3t+t2（t>0），由基本不等式，得y≥6.

所以，函數的值域為[6，+∞）.

例2 （2019年溫州搖籃杯）函數f（x）=x2-x+1-x的值域為.

這是2019年溫州市搖籃杯高一數學競賽填空題的第6題，求這道函數值域題的常見方法有反函數法、導數法，以及三角換元法，但若采用歐拉變換法，幾乎可以做到“秒殺”.為鞏固應用反函數法、導數法和三角換元法求函數值域，以及體現歐拉變換法在求解此函數值域時的快捷，下面將幾種解法一一給出，以便比較.

解 （1）反函數法：設x10，從而f（x1）0，從而y>-12，原函數的值域為-12，+∞.

（2）導數法：y′=2x-12x2-x+1-1，易知y′<0，

又limx→+∞（x2-x+1-x）=limx→+∞-x+1x2-x+1+x=limx→+∞-1+1x1-1x+1x2+1=-12，而limx→-∞（x2-x+1-x）=+∞，從而知函數的值域為-12，+∞.

（3）三角換元法：將函數解析式變形為y=x-122+34-x，令x=32tan θ+12，θ∈-π2，π2.則y=32cos θ-3tan θ2-12，進一步變形有y=-32×sin θ-1cos θ-0-12，將sin θ-1cos θ-0看成是過點（cos θ，sin θ）與（0，1）的直線的斜率，結合圖形易知y>-12，從而函數的值域為-12，+∞.

（4）歐拉變換法：令x2-x+1=x+t，解得x=1-t22t+1.因為x+t≥32，所以t>-12，從而y=x2-x+1-x=x+t-x=t.易知，函數的值域為-12，+∞.

可以發現，此題采用歐拉變換法求解，從計算量上講比前三種方法要少，得到結果更快捷，但方法是初等的.下面我們再看一個更一般的例子，以便歸納用歐拉變換法求此類函數值域的一般步驟.

例3 求函數y=22x2+4x-3+3x-1的值域.

解 令2x2+4x-3=2x+t，解得x=t2+34-22t，易知函數的定義域為-∞，-1-102∪-1+102，+∞.因為2x2+4x-3≥0，所以2x+t≥0，即2t2-4t-3222t-4≥0，解得2-5≤t<2，或t≥2+5.從而有y=2（2x+t）

+3x-1=（22+3）x+2t-1，進一步整理有y=（3-22）t2+（8+22）t+5+624-22t.令m=4-22t，則t=4-m22，從而有y=38-24m+15+102m-4，且0

作為例3的變式，我們再看歐拉變換在求下列函數值域中的應用.

例4 求函數y=2x-5x2-2x-3的值域.

解 易知函數定義域為（-∞，-1）∪（3，+∞），令x2-2x-3=x+t，則x=-t2+32t+2.又因為x+t>0，即t2+2t-32t+2>0，所以-31.又2x-5=-t2+5t+8t+1，從而有y=2x-5x2-2x-3=-2（t2+5t+8）t2+2t-3=-2-2×3t+11t2+2t-3，令s=3t+11，則t=s-113，那么214.進一步化簡整理有y=-2-18-16+s+28s，結合基本不等式容易求得y<-2，或y≥72.所以，函數的值域為（-∞，-2）∪72，+∞.

事實上，例4還可以繼續變式為y=x2-2x-32x-5，值域求法完全同例4.

三、小 結

例3除了可以用歐拉變換法求函數值域外，還可以用導數法求解，導數法和歐拉變換法皆為通法.用歐拉變換法求例3函數的值域的計算量比用導數法稍微偏多，但導數法實際屬于高等數學范疇，而用歐拉變換求此函數值域的方法完全是初等的.

對于求“y=pax2+bx+c+mx+n”（其中a，b，c，m，n和p為常數，且a>0）型函數的值域，導數法和歐拉變換法皆為通法.例1至例3都屬于此函數類型，用歐拉變換法求此類函數值域的一般步驟為：（1）令ax2+bx+c=t±ax，或ax2+bx+c=xt±c（c>0），并求出x關于t的表達式以及相應的t的取值范圍;（2）進一步化簡整理，將函數表示為t的分式或整式形式;（3）結合基本不等式等，求出變換后函數的值域，從而得到原函數的值域.

事實上，例4還可以將函數變形為y=±4x2-20x+25x2-2x-3，進一步將4x2-20x+25x2-2x-3分離為4-12x-37x2-2x-3，令s=12x-37，結合相應s的取值范圍，然后利用基本不等式可求出函數的值域.對于形如例4中的函數，歐拉變換法也為通法，讀者可自行歸納用歐拉變換法求“y=mx+nax2+bx+c”以及“y=ax2+bx+cmx+n”（其中a，b，c，m和n為常數，且a>0）型函數值域的一般步驟.

對具體的函數而言，用歐拉變換法求函數的值域有時并不比其他方法計算量少，但對于求一類帶根式函數的值域，歐拉變換法符合通性通法的要求，而且方法完全是初等的.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]劉彥永，盧軍.一題一課 高中數學好題賞析[M].杭州：浙江大學出版社，2017.