基于核心素養背景下直觀想象素養之培養

丁春年

【摘要】直觀想象素養是高中數學六大核心素養之一.筆者通過利用直觀想象解決抽象函數問題、平面向量問題、立體幾何問題等幾個典型案例，對利用直觀想象解決數學問題進行了分析與思考.在數學問題的解決中，教師要使學生能夠通過圖像直觀認識數學問題，能夠利用圖形描述和表達數學問題，從而培養學生的直觀想象素養.

【關鍵詞】直觀想象;函數圖像;直觀模型

【課題項目】甘肅省教育科學“十三五”2018年度課題立項，立項號：GS[2018]GHB1340

《普通高中數學課程標準（2017版）》（以下簡稱《課標》）提出了高中數學六大核心素養，而直觀想象是其中的素養之一.雖然直觀想象素養在《課標》中被正式提出，但直觀想象的說法由來已久.數學家希爾伯特曾說：“要幫助學生學會用圖形來描述和刻畫問題，要幫助學生學會用圖形去探索解決問題的思路.”這說明了圖形是解決數學問題的有力工具.哲學家康德也認為：“缺乏直觀的概念是盲目的.”這說明了直觀是我們認識概念的前提.前人的經驗充分說明：直觀想象是我們認識事物的一種基本方式，它有助于我們解決問題.

1 直觀想象的定義

《課標》修訂組從數學學科核心素養的關鍵能力和學科思維品質的角度出發，給出了直觀想象的定義：直觀想象感知事物的形態與變化，借助的是幾何直觀能力和空間想象能力;解決問題的過程，利用的是對幾何圖形的理解.利用空間形式特別是圖形理解和解決數學問題的素養主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律;利用圖形描述分析數學問題;建立數與形的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

對直觀想象進行定義解讀不難發現幾何直觀和空間想象是直觀想象的兩個要素，其中幾何直觀包括平面幾何直觀與立體幾何直觀，其內涵可以從數與形的關系、圖形與數學問題表征、建構問題的直觀模型三個方面理解.對空間想象內涵的理解可以從數學概念中的文字語言、符號語言、圖形語言的轉換，圖形的形狀變化與運動的描述，抽象圖形和想象實際物體，想象圖形和實際物體之間的位置關系和方位等幾個方面理解.由此可見，利用直觀想象認識數學問題、解決數學問題完全符合高中階段學生的認知特點.這是因為在一定的問題情境中，學生對數學問題的認識往往需要在數學直觀和空間想象的基礎上，通過直觀感知、操作確認、推理論證來獲得結論和發展思維能力.

2 直觀想象核心素養的三級水平劃分

《課標》修訂組專家在給出直觀想象素養的基本水平劃分之后，又對直觀想象素養進行了三級水平劃分，這種劃分的理論構想是：將知識學習按照理解難度順序依次分為三種形態，即知識理解、知識遷移、知識創新.三種形態分別對應三種表現形式.

表現1 直觀想象感知，表現內容為：抽象幾何圖形、想象實際物體、圖形運動變化、根據描述畫圖形.

表現2 直觀想象分析，表現內容為：理解數學概念、描述數學問題、分析數學問題、直觀探索問題.

表現3 直觀想象建構，表現內容為：圖形建構、圖形分析、數形結合、直觀遷移.

由此可見，《課標》修訂組對直觀想象素養進行三個水平層次的劃分，分別對應實際情境、數學情境、科學情境.具體描述為：能夠在熟悉的情境中，建立實物的幾何圖形;能夠在數學的教學情境中，借助圖形的性質和變換發現數學規律;能夠通過圖形直觀認識數學問題;能夠用圖形描述和表達熟悉的數學問題.

直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理的思維基礎.筆者結合幾個利用直觀想象解決數學問題的典型案例，進行逐一分析與點評，并提出了相應的教學建議.

3 案例分析

3.1 利用直觀想象解決抽象函數問題

函數是高中數學的重要概念，它貫穿了整個高中數學知識，涵蓋了多個知識點.以函數為主線“串”起了函數、方程、不等式、數列等知識.函數的性質涉及函數的單調性、奇偶性、周期性等.函數本身具有抽象性，而抽象函數更加抽象，它既是數學學習中的難點問題，又是高考的熱點問題.在解決抽象函數問題時，可以利用函數的性質，描繪出函數的大致圖像，通過直觀想象感知函數的圖像，達到解決抽象函數問題的目的.

例1 設函數f ′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f （-1）=0，當x>0時，xf′（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是（? ）.

A.（-∞，-1）∪（0，1）? B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+∞）

解析 構造函數g（x）=f（x）x（x≠0），

則g′（x）=xf′（x）-f（x）x2.

由題意，當x>0時，g′（x）<0，因此函數g（x）在（0，+∞）上單調遞減.又因為函數f（x）是奇函數，所以函數 g（x）是偶函數，且g（1）=f（1）=-f（-1）=0，所以函數g（x）的

大致圖像如圖1所示.

由函數g（x）的圖像可知：當x∈（-∞，-1）∪（0，1）時，f（x）>0，故選A.

點評 從函數的性質入手，因為函數f（x）是奇函數，可知函數f（x）的圖像關于坐標原點對稱，因此，僅考慮函數f（x）在區間（0，+∞）上的單調性即可，再結合不等式xf′（x）-f（x）<0的結構特征，可知函數g（x）=f（x）x在區間（0，+∞）上的單調性，最后，由f （-1）=0，可畫出函數g（x）的大致圖像，由函數圖像可求出結果.由此，體現了在熟悉的情境中建立實物的幾何圖形的直觀想象素養.

3.2 利用直觀想象解決平面向量問題

向量是近代數學中較重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數與幾何的一種工具，在高中數學中具有重要的作用和地位.向量作為一種既有大小又有方向的量，既具有形的特征，可以通過構造向量來處理代數問題，使問題簡單化，又具備數的特征，可以將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算.向量又是聯系數與形的紐帶，正是因為平面向量具有“數”與“形”的雙重身份，因此，在解決平面向量問題時，可以根據平面向量的代數形式，建立實際的幾何圖形，通過對幾何圖形的理解，解決代數問題，進而培養學生的直觀想象素養.

例2? 已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則PA·（PB+PC）的最小值是（? ）.

A.-2?? B.-32

C.-43?? D.-1

解法1 （代數直觀）如圖2所示，以A為原點建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（2，0），C（1，3）.設P（x，y），則PA=（-x，-y），PB=（2-x，-y），PC=（1-x，3-y），PA·（PB+PC）=2x-342+2y-342-32.

當且僅當x=34且y=34時，PA·（PB+PC）有最小值-32，故選B.

點評 解法1應用了“數形結合”的基本思想，這也是平面解析幾何的核心思想所在，就是通過平面直角坐標系，將圖形問題轉化為代數問題，通過代數運算解決幾何問題.同時，幾何圖形又為代數運算提供了直觀的模型.

解法2 （幾何直觀）如圖3所示，取BC的中點D，則PB+PC=2PD，

PA·（PB+PC）=2PA·PD.

要使PA·PD最小，則PA與PD方向相反，

即點P在線段AD上，則2PA·PDmin=-2PA·PD，

問題轉化為求PA·PD的最大值.

又因為PA+PD=AD=3，

由基本不等式可得，PA·PD的最大值為34，

當且僅當PA=PD=32時取得最大值，

所以PA·（PB+PC）有最小值-32，故選B.

點評 向量既有數的特征，又有形的特征，利用向量運算的平行四邊形法則化簡所求的向量，再結合圖形特征，通過基本不等式加以解決，達到了化難為易的效果.

3.3 利用直觀想象解決立體幾何問題

立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間觀念，《課標》要求應遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則.因此，教師在教學設計和幫助學生解決問題時，要用學生熟悉的長方體這一直觀模型，讓學生借助長方體模型，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系.對于一些較難的幾何問題，可以將其放在直觀模型長方體中加以解決，達到化難為易的目的.

例3 已知球O的直徑SC=4，A，B兩點在球面上，∠ASC=∠BSC=30°，

則三棱錐S-ABC的體積的最大值是.

解法1 構造體積函數計算

如圖4所示，因為球O的直徑SC=4，

∠ASC=∠BSC=30°，

所以Rt△ASC≌Rt△BSC，AC=BC=2，

SA=SB=23.

取AB的中點D，連接SD，CD，

則AB⊥SD， AB⊥CD，從而AB⊥平面SCD.

設AB=2x，則SD=12-x2，CD=4-x2，

在△SCD中，由余弦定理得：

cos∠SDC=SD2+CD2-SC22SD·CD=-x212-x2·4-x2，

sin∠SDC=1-cos2∠SDC=43-x212-x2·4-x2，

S△SCD=12SC·CDsin∠SDC=23-x2，

三棱錐S-ABC的體積V=13S△SCD

·AB=43x2（3-x2）≤43×32=2.

當且僅當x2=3-x2，即x=62時等號成立，即當AB=6時，三棱錐S-ABC的體積的最大值是2.

點評 將幾何問題代數化是求解幾何問題中最值問題的常用方法之一.根據題目中圖形的直觀特征——圓的直徑所對的圓周角是直角，設置適當的自變量，將三棱錐的體積表示為自變量的函數，問題就轉化為函數的最值問題了.

解法2 構造長方體模型計算

如圖5所示，將三棱錐S-ABC放在長方體中，

VS-ABC=VB-SAC，當平面SAC⊥平面SBC時，

三棱錐B-SAC的體積最大，此時，

BD⊥平面SAC，在Rt△SBC中，

BD=SB·BCSC=3，

VB-SAC=13S△SAC·BD=13×12×23×2×3=2，

故三棱錐S-ABC的體積的最大值是2.

點評 通過對題目中的數學問題的分析，構建出數學問題的直觀模型——長方體，將三棱錐放置在長方體中，很容易直觀地看出，當兩個平面垂直時，三棱錐的體積最大.

3.4 利用直觀想象解決函數、導數和不等式問題

導數題常以線性函數與指數函數和對數函數的組合形式出現，考查導數的運算法則、極（最）值的求法，考查分類討論及數形結合思想，考查等價轉化能力及邏輯推理能力，難度較大.要想化解導數題目的難度，只要把函數的圖像作為切入點，就可以找到題目的突破口，達到化難為易的效果.縱觀近幾年高考數學中的導數大題，其題目的呈現往往以我們熟悉的不等式ex≥x+1、ln x≤x-1等為載體，通過變形或適當重組，形成一道新穎的題目.其中不等式ex≥x+1的證明中蘊含著豐富的數學素養，即代數構造與幾何直觀.

3.4.1 構造函數：證明不等式ex≥x+1

證明 設f（x）=ex-x-1，x∈R，則? f′（x）=ex-1.

當x∈（-∞，0）時，f′（x）<0，函數f（x）在區間（-∞，0）上單調遞減，

當x∈（0，+∞）時，f′（x）>0，函數f（x）在區間（0，+∞） 上單調遞增.

因此，f（x）≥f（0）=0，即ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立.

點評 “比較法”是證明不等式的常用方法之一，對于上述的不等式，若用“比較法”不易證明.而構造函數，利用導數判斷函數的單調性，通過求函數的極值證明不等式是又一種證明不等式的重要方法.通過對上述不等式結構特征的分析，可以進行適當的代數構造，這也是直觀想象的一種表現.

3.4.2 不等式ex≥x+1的直觀解釋.

如圖6所示，在同一坐標系內作出函數y=ex及y=x+1的圖像，通過兩個函數的圖像可以直觀地看出對任意的實數x，ex≥x+1，當且僅當x=0時等號成立.事實上，直線y=x+1就是曲線y=ex在x=0處的切線.

點評 通過對不等式結構的觀察，可以直觀地感知兩個熟悉的函數y=ex與y=x+1，進一步可以發現直線y=x+1就是曲線y=ex在x=0處的切線.在熟悉的情境中，建立不等式的幾何圖像，通過對幾何圖像的認識，得出了不等式的幾何解釋，體現了直觀想象在證明不等式中的應用.

3.4.3 不等式ln x≤x-1的直觀解釋.

對于熟悉的不等式ex≥x+1，兩邊取自然對數得x≥ln（x+1），

用x-1代替x可得ln x≤x-1，當且僅當x=1時等號成立.從導數的幾何意義可得，函數y=ln x在x=1處的切線方程為y=x-1，在同一坐標系內作出函數y=ln x及y=x-1的圖像，通過兩個函數的圖像可以直觀地看出對任意的實數x，ln x≤x-1，當且僅當x=1時等號成立.

點評 《課標》中對直觀想象素養進行了不同水平層次的劃分，讓學生能夠通過直觀想象提出數學問題，能夠用圖形探索并解決問題.通過對函數y=ln x及y=x-1圖像的觀察，可以提出一個不等式ln x≤x-1的證明問題，當然也可以通過圖像探索不等式的證明思路.這正是直觀想象的魅力所在.

4 教學建議

4.1 關注直觀想象認知，提升直觀想象素養

在整個高中學習階段，很多學生都會有這樣的錯誤認識，他們認為“直觀想象”只在立體幾何中存在，其實不然，“直觀想象”貫穿整個高中階段的數學知識.以“集合”的相關概念為例，其每一個概念都要用文字語言、圖形語言、符號語言表述.再比如在“基本初等函數”中，每一個函數都有其對應的圖像，要想學好基本初等函數，就要熟悉每一個函數的圖像，通過函數的圖像才能認識函數的性質.因此，教師從高一開始，就應該注重對學生進行直觀想象素養的培養，提高學生的學習興趣.

4.2 關注數形結合，提高解題效率

著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.數形結合百般好，隔離分家萬事休.”這句話形象地說明了數形結合的重要性.在平時的學習中，學生將一個數學問題代數化和幾何化，一方面可提高自身的代數素養和幾何素養，另一方面可以提高解決問題的效率.例如案例1中的抽象函數問題，直接解決顯得困難，但如果根據函數的性質，畫出函數的大致圖像，通過觀察圖像，問題便迎刃而解.

4.3 注重信息技術應用，提升學生創新意識

在“互聯網+”時代下，信息技術與數學學科進行了完美融合.信息技術承擔了多種角色，它既是學生獲取知識、合作交流的工具，也是學生學習的工具.例如，在函數圖像的繪制中，學生可以通過描點法畫出一些基本函數的圖像，對于一些復合函數的圖像，用描點法不易畫出.而借助幾何畫板，學生就可以很容易畫出圖像.利用幾何畫板，學生也可以提出一些具有挑戰性的數學問題，進而培養創新意識.

直觀想象作為高中數學六大核心素養之一，它的培養必然落實在課堂教學中，必然落實在一線教師的教學實踐中.這就需要我們一線教師深刻領會每一個核心素養的內涵、價值、表現和目標.在日常的教學活動中，教師應深入挖掘教學內容，合理搭建培養學生直觀想象素養的平臺，引導學生養成利用直觀想象解決問題的習慣，引導學生利用圖形描述數學問題，利用圖形解決數學問題，讓學生學會構建數學問題的直觀模型，最終有效提升學生的數學核心素養水平.

【參考文獻】

[1]林崇德.21世紀學生發展核心素養研究[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2017.