對于定積分概念求無窮和式極限的線上線下混合式教學內容的構建

杜超雄 劉燦輝

【摘要】無窮和式極限是大學生學習高等數學時較難理解的一個基本且重要的知識點，其形式復雜，解法多樣，學生不易掌握.本文結合實例給出了利用定積分求解無窮和式極限的常用方法并加以拓展.同時，考慮到教學課時數的限制，以“定積分概念求無窮和式極限”為例，本文還闡述了線上線下混合式教學內容的適度構建問題.

【關鍵詞】定積分定義;無窮和式;線上線下教學內容構建

【基金項目】該研究受湖南省教改項目（項目編號：湘教通〔2019〕291號1144）資助和湖南省教育廳重點項目（18A525）資助

大學本科理工類學生在學習高等數學時，往往覺得學習難度較大.究其原因，一方面可能是由于高等數學類課程的開設課時不足，教師在授課時無法像中學一樣對教材上的概念和定理等深入講解，以至于自學能力較差且已經對課堂教學形成一定依賴性的學生對部分知識的學習不深不透、一知半解;另一方面，可能由于部分大學數學教師對于課堂教學外學法的過多引入，導致學生學習知識的體系無法有效構建，從而使學習興趣不斷衰退.陳寶生部長在全國教育大會上提到“以本為本”，大學教師更應以學生為中心，將教學時刻放在心上，以提高學生的水平和能力為己任.大學數學教師要激發學生的學習興趣，對學生進行學法指導，第一，指導學生有效閱讀教材和做好課外習題.第二，引導學生開展網絡學習.第三，引導學生參閱好的課外參考資料以圖從中吸取養分來作為課堂教學的有益補充.當下教育部門提倡教師開展課堂教學改革，構建網絡課程，開展線上線下教學活動，這將有利于學生對于知識更好地掌握和消化乃至拓展.對于線上線下混合式教學的討論，很多文獻進行了論述.如王皓，林海燕認為線上教學有效突破了時間和空間的限制，能實現教學效果最大化.李建榮和章勁鷗分別對線上線下混合式教學和翻轉課堂進行了探究.

如何有效構建課堂教學外的網絡教學知識體系是一個值得研究的問題.從很多網絡課程所展示的內容來看，大部分課程看起來似乎很完整，每章每節的內容都全部展示出來，細細想來，這是課堂教學的重復還是代替學生做了一個完整的筆記？個人認為，網絡學習的部分應該以鞏固、提高、拓展知識、提高解決問題的能力和激發學生學習興趣為目的.

下面以教材為例來說明一下線上線下內容的構建，以供同行討論.

一、利用定積分概念求無窮和式的課堂教學內容

在有限的教學時間內，課堂教學的內容一般以教材為范本.對于《數學分析》教材中關于利用定積分的定義求無窮和式極限的課堂教學可以如下展開.

第一步，先展示定積分定義.“利用定積分的定義求無窮和式極限”應該是在學習完定積分定義后講述的，因此先展示一下定積分定義可以起到復習和鞏固的作用，還可以為接下來的教學起到承前啟后的作用，對于定義可以使用PPT展示.

定積分的定義：設f（x）是定義在[a，b]上的一個函數，在閉區間[a，b]內插入n-1個點，依次為a=x0

第二步，結合定積分定義講解例題.教材上的例題如下：

例1 計算：limn→∞1n+1+1n+2+…+12n.

解 limn→∞1n+1+1n+2+…+12n=limn→∞1n11+1n+11+2n+…+11+nn，

接著考慮f（x）=11+x在[0，1]上的定積分，將[0，1]n等分為0<1n<2n<…

Δxi=in-i-1n=1n，λ=1n→0n→∞，取ξi=in∈[xi-1，xi]即i-1n，in，則

limn→∞1n+1+1n+2+…+12n=limn→∞1n11+1n+11+2n+…+11+nn

=∫1011+xdx=ln 2.

第三步，總結與反思.其一是總結一下如何構造定積分，被積函數怎么找;其二是反思為什么要這么找.

這第三步往往是教學環節中最重要的，也是最吸引學生進一步探究興趣的關鍵一環，但是課堂教學時間有限，很難很好地完成這一步.因此，不少教師在日常的教學中只是簡單地總結與歸納，更不用說進一步拓展了.

二、利用定積分概念求無窮和式的線上（或拓展）教學內容

線上線下混合式教學的關鍵在于線上線下混合式教學管理目標是否可以達成，效果是否明顯.這對教師完善教學內容、提高教學水平起著積極的導向作用.教師要界定哪些內容適合線上的教學，哪些內容適合線下的教學.線上教學部分應能增加學生課前自主預習的時間、增加學生對知識的好奇心、求知欲，能吸引學生課后進一步對所學知識進行消化和鞏固.線下教學部分應能通過師生面對面的形式在有限的課堂時間使學生充分掌握重難點知識，且對學生線上學習產生的疑問面對面解答，引導學生學習更多的專業知識，這從某種意義上講是對于線上內容的構建提出的一些要求.

就“利用定積分概念求無窮和式極限”而言，我們可以設計如下教學內容，線上教學內容的講述可以錄制視頻.

1.展示定積分定義

為了很好地講述“利用定積分概念求無窮和式極限”，對定積分的定義的鞏固與復習是十分必要的.

2.利用定積分定義構造無窮和式

利用定積分定義求無窮和式，不必先展示要求的習題，而是可以以某個函數的定積分入手構造無窮和式的極限問題，同時在此基礎上結合其他知識點對求無窮和式的極限問題不斷拓展.下面我們以f（x）=11+x在[0，1]上的定積分為例來引導學生構造一系列的無窮和式問題，以激發學生探究問題的興趣.

例2 將[0，1]n等分，請寫出∫1011+xdx的定義表達式.

解 將[0，1]n等分，則Δxi=in-i-1n=1n，λ=1n→0n→∞，任意取ξi∈i-1n，in，則 ∫1011+xdx=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi=limn→∞1n∑ni=111+ξi.

以例2為基礎，從上面表達式的最右端入手可以讓學生根據ξi的任意性來構造無窮和式，可以布置如下拓展性練習.

練習1 根據ξi的任意性寫出一些無窮和式.

該練習是一種發散式練習，教師可以引導學生去完成，引導學生取i-1n，in的左端點、右端點和介于左右端點之間的某一點.這樣就產生了一些無窮和式的極限問題了，如：

練習1.1 limn→∞1n∑ni=111+i-1n=limn→∞1n+1n+1+…+12n-1.ξi取i-1n，in的左端點得到的極限式

練習1.2 limn→∞1n∑ni=111+in=limn→∞1n+1+1n+2+…+12n.ξi取i-1n，in的右端點得到的極限式

練習1.3 limn→∞1n∑ni=111+i-1n+12n=limn→∞1n+12+1n+32+1n+52+…+1n+2n-12.ξi取i-1n，in的左右端點的中點得到的極限式

練習1.4 limn→∞1n∑ni=111+i-1n+1n2=limn→∞1n+1n+1n+1+1n+1n+2+1n+…+12n-1+1n.ξi取i-1n+1n2∈i-1n，in得到的極限式

練習1.5 limn→∞1n∑ni=111+i-1n+1ni+1=limn→∞1n+1n2+1n+1+1n3+1n+2+1n4+…+12n-1+1nn+1.ξi取i-1n+1ni+1∈i-1n，in得到的極限式

教師通過對定積分定義中ξi的任意性的系列練習的構造，激發了學生探究的興趣.這類教學需要課外時間方可完成，因此適合于網上展示或者以興趣小組輔導的形式展示.

練習2 證明：對于任意的正整數n，有1n+1+1n+2+…+12n

可以提示學生認識到左邊當n趨向于無窮時為例1中的積分，其值為ln 2，而上式左邊僅為其中一部分，還可以進一步利用上面的練習1.1-1.5構造相似的不等式.

練習3 求極限limn→∞1nnn（n+1）（n+2）…（2n-1）.

分析該題為無窮乘積，教師要引導學生將無窮乘積轉化為無窮和式，即取對數.

開展高等數學線上線下混合式教學，學生的參與度與認可度會有較大提高，但是切不可隨意構造線上內容，不可簡單重復課堂教學內容.教師要有效構建網上學習和討論的內容，并進行網絡學習監測與學習考察，大多數學生都能配合教師較好地完成線上的任務，這樣不僅能提高課堂的學習效果，也能提高學生的學習成績.

【參考文獻】

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[4]復旦大學數學系編.數學分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2018.

[5]同濟大學數學系編.高等數學 （第七版） [M].北京： 高等教育出版社，2018.