MATLAB在復變函數教學中的可視化應用探討

陳莉

【摘要】復變函數是微積分在復數域的推廣與發展，其內容、結構和方法與微積分有許多類似之處.復變函數課程在自然科學和工程技術中又有著廣泛的應用，是研究諸如流體力學、電磁學、熱學和彈性理論中平面問題的有力工具.但是該課程原理多，內容抽象、枯燥，且需要理解的概念、定義多，是學生較難學的課程之一.本文主要探討MATLAB在復變函數中的應用，利用MATLAB將復變函數運行結果以可視、動態化的形式呈現出來，給學生在視覺上直觀的結果，便于理解問題的本質及意義.

【關鍵詞】典型應用;可視化;動態化

【基金項目】2018年廣東省教學質量工程項目（GDJX2018004）;2018年廣東省教學改革項目（GDJX2018015）;2019年校級教學質量工程與教學改革招標項目（JX2019071）;2019年校級教學質量工程與教學改革招標項目（JX2019065）;2019年廣東省教學改革項目（GDJX2019017）

復變函數是一門古老而又富有生命力的學科，它的主要內容是討論復數域內數量之間的相互關系，解析函數是其主要研究的內容.作為一種研究問題的工具，復變函數還廣泛地應用于自然科學的其他眾多領域.由于其課程本身理論的抽象和運算的復雜，導致學生經常對該門課程產生畏懼、厭學心理，教學效果極其不好，直接影響后續應用課程的學習.本文討論了利用MATLAB解決復變函數學習中遇到的一些障礙.我們利用 MATLAB解決復變函數中的計算問題，可以節省時間和人力，提高學習效率.MATLAB可以將復雜函數以圖像的形式繪制出來，形象生動，更利于學生理解和掌握，利于教學.

一、MATLAB簡介

MATLAB是一個集多功能為一體的數學應用軟件，將計算、可視化和編程功能集于一身，其表達式與數學、工程計算中常用的形式十分相似，廣泛應用于數學計算、系統建模、數學分析與可視化科學工程繪圖，已經成為高等數學、線性代數、自動控制理論等課程的基本工具.MATLAB軟件的圖像處理系統能夠將二維和三維數組的數據用圖形表示出來，并可以實現圖像處理、動畫顯示和表達視圖等功能.復變函數是微積分在復數域的推廣與發展，是大學理工科教學的基礎內容，但由于其理論內容抽象，學生僅從課堂上教師的理論講解并不能夠很好地接受與理解.將MATLAB軟件引入復變函數的教學當中，不僅可以讓學生更加直觀地理解復變函數與實變函數的不同之處，而且可以增加課堂教學的生動性.

二、MATLAB在復變函數中的應用

2.1 復變函數的基本計算

由于復變函數的計算較為復雜，數據整理難度較大，傳統的人工計算也是一大難題.在課堂上如果使用MATLAB軟件來實現一些復雜的計算，就可以大大節省時間，提高學生的學習興趣和學習效率.

2.1.1 使用MATLAB軟件可以快速地計算復數的實部、虛部、輻角和模等內容

例1 a=1/（3+2i），

R=real（a）

M=imag（a）

Con=conj（a）

Abs=abs（a）

Ang=angle（a）

%計算結果

a= 0.2308-0.1538i

R= 0.2308

M= -0.1538

Con =0.2308 + 0.1538i

Abs = 0.2774

Ang = -0.5880

這里雖然只是一個十分簡單的例子，但是MATLAB的使用大大地節省了我們的計算時間，我們只需要對軟件下達一些簡單的指令，就可以快速得到需要的結果，而且可以提高計算的準確度，為我們的學習提供方便.

2.1.2 復變函數解方程

在復變函數中，對于方程的求解我們主要運用的是solve命令來實現的.

例2 求方程x3+8=0的所有根.

>> roots=solve（′x^3+8=0′）

>> roots =[???? -2]

[ 1-i*3^（1/2）]

[ 1+i*3^（1/2）]

2.1.3 復變函數積分計算

復變函數主要是針對積分導出方程展開應用的，復變函數的積分是研究解析函數的一個重要工具，解析函數的許多重要性質都是通過積分證明的.復變函數積分的值既跟被積函數有關，也跟積分曲線有關，且有實部和虛部兩個變量，因而跟實變函數的積分比起來也是相當的復雜.在教學工作中，我們常常會碰到許多大量的復雜計算，但在MATLAB的幫助下，可以很輕松地得到計算結果.

例3 求∫πi0zcos z2dz的值.

syms x;

f=x*cos（x^2）;

df=int（f，x，0，i*pi）

df =

-sin（pi^2）/2

2.1.4 復變函數的Taylor展開

Taylor級數展開在復變函數中有著很重要的地位，比如研究復變函數的解析性等.函數f（x）在x=x0點的Taylor級數展開如下：

f（x）=x0+f（x0）（x-x0）+f′（x0）（x-x0）2！+f″（x0）（x-x0）23！+L

在MATLAB中可由函數Taylor來實現，具體格式為：taylor（f，n，variable，a）

f為需要展開的函數表達式，n聲明輸出展開式的前n項，variable聲明展開變量，a表示變量求導的取值點.

例4 將函數1（1+z）2展開成關于z的冪級數.

% complex05.m

clear

syms z

f=1/（1+z）^2;

F=taylor（f，10，z，0）;

%計算結果

F=1-2*z+3*z^2-4*z^3+5*z^4-6*z^5+7*z^6-8*z^7+9*z^8-10*z^9

2.1.5 留數的計算

留數是復變函數中一個重要的內容，留數理論在數學及工程技術中有著廣泛的應用.留數定理的本質就是解析函數積分理論的繼續，柯西積分定理與柯西積分公式就是留數基本定理的特例，留數定理把解析函數沿封閉曲線的積分計算問題轉化為求函數在該封閉曲線內部各個孤立奇點處的留數的和，這充分顯示了留數的積分表達形式在解析函數的積分計算中所具有的重要價值.留數定理為計算某些類型的實變量函數的積分和反常積分提供了極為有效的方法，尤其是對那些計算比較復雜或不能直接用定積分來計算的問題，留數理論的實用價值就得到充分的體現，但是方法雖然找到了，有時我們對某些方程求解留數的時候，計算量也是特別的大.MATLAB在進行留數的計算時，先把函數變成有理多項式的分數形式，然后利用residue函數輸入分子、分母、有理多項式的系數，最后求出留數以及極點數組和余項.計算留數的命令的格式如下：

[r，p，k]=residue（B，A）

參數r返回留數，是由在不同奇點的留數組成的向量.參數p返回奇點，也是一個向量.參數k是個向量，由B/A的商的多項式系數組成.

例5 求函數z+1z2-2z在孤立奇點處的留數.

[r，p，k]=residue （[1，1]，[1，-2，0]）

可得奇點2的時候留數為1.5，奇點0的時候留數為-0.5.

Res[f（z），2]=1.5;Res[f（z），0]= -0.5.

2.2 MATLAB的繪圖功能

MATLAB不僅具有強大的數字運算功能，還具有強大的二維和三維繪圖功能.用戶可以利用圖形編輯功能直接觀察數據間的內在關系，也可以方便地分析各種數據結果.

MATLAB的數據可視化和圖像處理兩大功能塊兒幾乎滿足了一般實際工程及科學計算中的所有圖形圖像處理的需要，在數據的可視化方面，根據不同的情況可以轉化成相應的圖形，且可以對圖形做進一步的初級加工，一系列命令與操作足以實實在在地表達各種理想的視圖.

復變函數由實部和虛部兩個二元實函數組成，因此其圖形需要在四維空間中顯示.這樣，與實函數相比，復變函數圖形相對不容易理解.MATLAB軟件是利用三維空間加上顏色條顯示復變函數的圖形.三維視圖表現一個空間內的圖形，為了使圖形的效果更逼真，可以從不同的位置和角度來觀察該圖形.MATLAB提供了圖形視角控制命令函數，主要用于從不同的角度觀察圖形，不僅有利于學生理解和掌握，也可以大大提高教學效果.

例6 運用MATLAB軟件繪制x和x2的復數的函數圖像.

程序如下：

z=cplxgrid（20）

cplxmap（z，z）

figure

cplxmap（z，z.^2）

圖形如下：

三、結束語

本文通過展示MATLAB在復變函數中的一些具體應用實例，讓我們看到了利用MATLAB可以化繁為簡，并可以把求解結果用可視化、動態化的形式直觀地表現出來，既提高了課堂的學習效率，又培養了學生的學習興趣，便于學生更加深刻地理解問題的本質及意義.

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