變限積分函數求導公式的推廣及其應用

張磊 王利巖 楊盛武

摘?要：本文在常見變限積分函數求導公式基礎上，探究含參變量的積分函數求導問題，給出含參變量積分函數求導公式，并結合算例給出公式的應用。

關鍵詞：變限積分函數;含參變量;求導;應用

中圖分類號：O172?文獻標識碼：A

變限積分函數是聯通微分學和積分學的橋梁，它的求導問題是高等數學考查的重點，也是研究生入學考試解答題中常見的綜合形式之一。在教研過程中發現，學生對變限積分函數變化型的求導方法掌握欠佳，尤其是含參變量函數的求導計算極易出錯。為此，童旭輝等[1]討論了變限積分函數的連續可導性，王澤暉[2]給出了含參變量積分在重積分下的推廣公式，鈕宏霞[3]將變限積分求導推廣到高維空間中的典型立體上并給出其應用。本文在以上理論基礎上，對變限積分函數基本求導公式進一步推廣，結合實例梳理不同類型變限積分函數求導方法，并建立相應變化型函數的求導公式。

一、變限積分函數及其求導公式

在高等數學中，有如下定義及定理：

值得注意的是，結合例4.2對比例4.1③的兩種方法易見，公式法用于完成被積函數為具體函數時的求導計算更方便，當被積函數為抽象函數多用變量替換法或定積分的齊次性先對積分函數整理再使用變限求導公式。

五、小結

本文介紹了幾類變限積分函數的求導公式，并給出了相關定理的證明。對于工科學生來說，掌握變限積分函數求導的一般公式并熟練使用公式做題是教學重點，相關定理的證明是這部分學習的難點，證明過程有助于學生復習和加深前期理論，帶動學生思考問題積極性，教師在設計本次教學時可以提前給出儲備知識減弱學生負擔。另外，教師在授課過程中應引導學生多觀察，勤思考，找準異同點，排除干擾，注重不同類型積分函數求導法的歸納整理，積極創造條件讓學生綜合運用基礎知識和基本技能有效解決做題中遇到的困難，提高學生的學生微積分的積極性和學習效率。本文適合作為初學高等數學的課堂同步輔導，高數期末復習以及考研第一輪復習時的參考資料。

參考文獻：

[1]童旭輝，張海亮，楊傳勝.被積函數含間斷點的變限積分的連續可微性[J].大學數學，2017，33（5）：123-126.

[2]王澤暉.含參變量函數積分求導的推廣[J].大學數學，2005，21（3）：104-105.

[3]鈕宏霞.變限積分求導公式在高維典型立體上的推廣[J].數學的實踐與認識，2008，38（20）：234-238.

[4]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2015.

基金項目：遼寧省教育廳青年項目（L201730）;遼寧省科技廳博士啟動項目（201601173）

作者簡介：張磊（1986—?），女，博士研究生，碩士生導師，講師，研究方向：控制論、微積分。