高中數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課教學(xué)模式探究及實(shí)踐

溫紹雄 尹蘭

摘 ? 要：高中數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課是圍繞課程主線(xiàn)設(shè)計(jì)，整體把握專(zhuān)題內(nèi)容結(jié)構(gòu)及學(xué)生認(rèn)知，旨在解決學(xué)生真問(wèn)題的一種教學(xué)模式。以“橢圓中的定值定點(diǎn)問(wèn)題”的教學(xué)實(shí)踐為例，探討如何在教學(xué)中設(shè)計(jì)、落實(shí)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，幫助教師深入理解核心素養(yǎng)背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：教學(xué)模式;專(zhuān)題課;教學(xué)實(shí)踐;定值定點(diǎn)問(wèn)題

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ?文章編號(hào)：1009-010X（2021）35-0044-05

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，專(zhuān)題復(fù)習(xí)課教學(xué)能夠根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，解決學(xué)生的真問(wèn)題。專(zhuān)題復(fù)習(xí)課以充分了解相關(guān)教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生學(xué)情為基礎(chǔ)，將一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的知識(shí)、方法進(jìn)行建構(gòu)，挖掘其蘊(yùn)含的思想方法，使學(xué)生在原有認(rèn)知上有新的升華，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

在近幾年的全國(guó)各省市高考數(shù)學(xué)試卷中，橢圓的定值定點(diǎn)問(wèn)題多次出現(xiàn)，考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力都有較高要求。教師在日常教學(xué)中應(yīng)重視該專(zhuān)題內(nèi)容的系統(tǒng)整理，形成解題策略，提升學(xué)生綜合運(yùn)用的能力，培養(yǎng)學(xué)生直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。下面以“橢圓中的定值定點(diǎn)問(wèn)題專(zhuān)題復(fù)習(xí)課”的教學(xué)過(guò)程為例，說(shuō)明如何進(jìn)行專(zhuān)題復(fù)習(xí)課的教學(xué)。

一、分析學(xué)生學(xué)情，明確教學(xué)目標(biāo)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的定義、幾何性質(zhì)等基本知識(shí)，以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系相關(guān)內(nèi)容，具備了一定的探究問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，也具備了一定的運(yùn)算能力。但是學(xué)生對(duì)該專(zhuān)題內(nèi)容——橢圓中的定值定點(diǎn)問(wèn)題缺乏理解與認(rèn)識(shí)，無(wú)法形成解題策略及思維網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)處理該專(zhuān)題內(nèi)容需要有較強(qiáng)的問(wèn)題分析能力、幾何直觀(guān)能力和運(yùn)算能力，學(xué)生比較欠缺這些能力。

根據(jù)學(xué)生實(shí)際學(xué)情，明確本節(jié)專(zhuān)題課的教學(xué)目標(biāo)：

1.通過(guò)核心問(wèn)題及問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷直觀(guān)感知、操作確認(rèn)，概括出橢圓中的定值定點(diǎn)問(wèn)題的解題策略，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理核心素養(yǎng)。

2.設(shè)置合理情境，通過(guò)學(xué)生分組討論、探究、成果分享，調(diào)動(dòng)學(xué)生解決問(wèn)題的積極性。利用“一題多解”引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，通過(guò)“多題一解”幫助學(xué)生提煉解題策略，多方面培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。

3.通過(guò)探究過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)如何用解析幾何方法描述、處理圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題，感悟解析幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生善于探索、發(fā)現(xiàn)的良好習(xí)慣。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）提出核心問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)研討氛圍

例1：已知橢圓C：+y2=1，P（4，0），過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求證：kPA+kPB為定值.

解析幾何中，有一些幾何量在動(dòng)態(tài)圖形中是不變的，這種問(wèn)題常與動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)弦、動(dòng)角、動(dòng)曲線(xiàn)、對(duì)稱(chēng)性等融為一體，能有效考查學(xué)生的綜合能力。例1為該專(zhuān)題的核心問(wèn)題，通過(guò)對(duì)題目的簡(jiǎn)化、改編，幫助學(xué)生緩解對(duì)陌生題目的畏懼情緒，引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用已有知識(shí)解決問(wèn)題。

問(wèn)題1：設(shè)直線(xiàn)方程時(shí)，需要注意什么？

問(wèn)題2：A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

追問(wèn)：y1+y2，y1y2如何表示？

問(wèn)題3：如何計(jì)算“kPA+kPB”？

通過(guò)設(shè)置問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生思考題目特征和涉及到的知識(shí)點(diǎn)，一步步深入理解問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考辨析。通過(guò)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生利用韋達(dá)定理x1+x2，x1x2直線(xiàn)方程將y1+y2，y1y2的表達(dá)式寫(xiě)出來(lái)，這四個(gè)式子在該專(zhuān)題以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的其他專(zhuān)題中會(huì)經(jīng)常用到。利用它們來(lái)溝通未知和已知之間的關(guān)系，而未知數(shù)本身并不需要求出它的值，這種“設(shè)而不求”的思想在處理解析幾何問(wèn)題中是非常重要的。它將關(guān)注運(yùn)算求解上升為關(guān)注分析求解，即通過(guò)少量的計(jì)算、大量的分析實(shí)現(xiàn)解題，優(yōu)化了學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生對(duì)解決解析幾何難題更有信心。

通過(guò)上述問(wèn)題設(shè)置、學(xué)生探究，明確了最終的運(yùn)算對(duì)象，求得運(yùn)算結(jié)果，繼而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。

教師指導(dǎo)、判斷學(xué)生是否能夠準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化條件，并分享小組成果，完善解題步驟：

①若直線(xiàn)l無(wú)斜率時(shí)，求出kPA+kPB=0;

②若直線(xiàn)l有斜率，設(shè)直線(xiàn)方程為y=（x-1），與橢圓方程聯(lián)立消元，得到根與系數(shù)的關(guān)系：x1+x2=，x1x2=;

③利用根與系數(shù)的關(guān)系以及直線(xiàn)方程，得到kPA+kPB=0;

④綜上所述，可證得kPA+kPB為定值0.

易錯(cuò)點(diǎn)：直接設(shè)直線(xiàn)方程為y=k（x-1），忘記考慮直線(xiàn)l無(wú)斜率的情況。解題關(guān)鍵在于利用根與系數(shù)的關(guān)系以及直線(xiàn)方程化簡(jiǎn)計(jì)算kPA+kPB的值。

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要掌握的核心能力，運(yùn)算能力不是一種單一的、孤立的數(shù)學(xué)能力，而是運(yùn)算技能與邏輯思維等的有機(jī)整合。本節(jié)的難點(diǎn)之一在于學(xué)生運(yùn)算能力的突破。通過(guò)上述問(wèn)題設(shè)置、學(xué)生探究，明確了最終的運(yùn)算對(duì)象，求得運(yùn)算結(jié)果，繼而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。

（二）合作探究，一題多解

通過(guò)學(xué)生小組討論，可將直線(xiàn)方程設(shè)為

l：x=my+1，與上述解題步驟相同，得到結(jié)果。這樣設(shè)方程，可以使得與橢圓方程聯(lián)立消元時(shí)計(jì)算變簡(jiǎn)單，同時(shí)注意這個(gè)直線(xiàn)方程可以表示無(wú)斜率的情況，表示不了l斜率為0的情況。

以上兩種解法都是處理該類(lèi)問(wèn)題的常用方法，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。

通過(guò)不同解法的分析，總結(jié)得到此類(lèi)問(wèn)題的解題策略：

①設(shè)出直線(xiàn)方程;

②與橢圓聯(lián)立消元，找到根與系數(shù)的關(guān)系;

③根據(jù)條件，化簡(jiǎn)推導(dǎo)，在計(jì)算過(guò)程中消去變量，從而得到定值。

（三）反轉(zhuǎn)問(wèn)題，深入探究

將此題做變式：已知橢圓C：+y2=1，

P（4，0），直線(xiàn)l有斜率，且與橢圓C相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若kPA+kPB=0，求證：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn).

通過(guò)互換已知條件和結(jié)論，引出橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生由感知到理解，通過(guò)一題反映一類(lèi)題所蘊(yùn)含的知識(shí)方法和規(guī)律，實(shí)現(xiàn)一題多用的效果，幫助學(xué)生跳離題海，提高學(xué)生的解題能力和創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng)。

學(xué)生活動(dòng)：自主探究、推理，寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程。

教師活動(dòng)：設(shè)直線(xiàn)方程為l：y=kx+m。根據(jù)例1的解題步驟，寫(xiě)出解題過(guò)程。

教師巡視，針對(duì)學(xué)生在運(yùn)算中出現(xiàn)的問(wèn)題加以指導(dǎo)，板演解題過(guò)程。

思考問(wèn)題：解決該問(wèn)題的步驟是什么？

學(xué)生活動(dòng)：梳理解題過(guò)程，總結(jié)解題步驟：

①設(shè)出直線(xiàn)方程;

②聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，以及△>0;

③根據(jù)條件建立代數(shù)關(guān)系式;

④化簡(jiǎn)、計(jì)算，找到參數(shù)間的關(guān)系，求出定點(diǎn)。

經(jīng)過(guò)例1定值問(wèn)題的處理后，學(xué)生可以類(lèi)比思考探究該定點(diǎn)問(wèn)題如何處理。發(fā)現(xiàn)邏輯的起點(diǎn)、推理的形式，通過(guò)演繹推理得出結(jié)論。

在推導(dǎo)過(guò)程中，學(xué)生在進(jìn)行韋達(dá)定理、含參數(shù)字母的運(yùn)算時(shí)犯錯(cuò)率高，容易忽略判定檢驗(yàn)等問(wèn)題。通過(guò)教師板演計(jì)算步驟，帶領(lǐng)學(xué)生看清、看準(zhǔn)運(yùn)算對(duì)象，把握運(yùn)算思路，改善運(yùn)算習(xí)慣，可逐步提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。

如果設(shè)直線(xiàn)為l：x=my+t，（m≠0），根據(jù)上述解題步驟也可以得到兩個(gè)參數(shù)間的關(guān)系，進(jìn)而求出定點(diǎn)。

通過(guò)畫(huà)圖能夠看出來(lái)，若一條直線(xiàn)滿(mǎn)足題目條件，那么與該直線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)也會(huì)滿(mǎn)足題目條件，這兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)一定是定點(diǎn)，即利用對(duì)稱(chēng)性知此定點(diǎn)在軸上。發(fā)現(xiàn)過(guò)點(diǎn)

P（4，0）和橢圓上頂點(diǎn)M（0，1）的直線(xiàn)與橢圓交于另一點(diǎn)N（，），由對(duì)稱(chēng)性可知過(guò)橢圓下頂點(diǎn)M′（0，-1）和N（，）的直線(xiàn)y=x-1，而且kPM′+kPN=-kPM+kPN=0，則直線(xiàn)M′N(xiāo)：y=x-1滿(mǎn)足條件，其與x軸的交點(diǎn)（1，0）即為直線(xiàn)l所過(guò)的定點(diǎn)。

利用對(duì)稱(chēng)性和特殊情況找到了定點(diǎn)，再設(shè)直線(xiàn)方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立消元，利用韋達(dá)定理及直線(xiàn)方程得到kPA+kPB=0，滿(mǎn)足條件，因此直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（1，0）。

教師活動(dòng)：總結(jié)上述不同做法，得到定點(diǎn)問(wèn)題的解題策略：

①設(shè)出直線(xiàn)方程，通過(guò)韋達(dá)定理和已知條件找出參數(shù)之間的關(guān)系式，或者求出參數(shù)的值，代入直線(xiàn)方程即可求出定點(diǎn)。

②從特殊入手，先通過(guò)符合題設(shè)條件的一些特殊情況找到這個(gè)定點(diǎn)，明確解決問(wèn)題的方向與目標(biāo)，然后再進(jìn)一步探究和推導(dǎo)，驗(yàn)證該點(diǎn)滿(mǎn)足題意，得出一般情況下的結(jié)論。

（四）知識(shí)應(yīng)用，練習(xí)鞏固

練習(xí)：（2017年全國(guó)卷Ⅰ理科20題（2））已知橢圓C：+y2=1，P（1，0），設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與橢圓C相交于A(yíng)、B兩點(diǎn).若直線(xiàn)PA與直線(xiàn)PB的斜率的和為-1，證明：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn).

利用核心問(wèn)題探究橢圓中的定值定點(diǎn)問(wèn)題的解題策略，讓學(xué)生在活動(dòng)中主動(dòng)建構(gòu)和思考。這里選擇了一道典型的高考試題作為練習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生對(duì)該專(zhuān)題內(nèi)容的重視，鞏固此類(lèi)問(wèn)題的解題策略與步驟，通過(guò)練習(xí)提升學(xué)生的直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。

（五）整合構(gòu)建，歸納總結(jié)

1.通過(guò)本節(jié)專(zhuān)題課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些知識(shí)方法？

橢圓中的定值問(wèn)題的解題策略：

設(shè)出合適的直線(xiàn)方程，根據(jù)條件直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值。

橢圓中的定點(diǎn)問(wèn)題的解題策略：

①設(shè)出直線(xiàn)方程，通過(guò)韋達(dá)定理和已知條件找出參數(shù)之間的關(guān)系式，或者求出參數(shù)的值，代入直線(xiàn)方程即可求出定點(diǎn)。

②從特殊入手，先通過(guò)符合題設(shè)條件的一些特殊情況找到這個(gè)定點(diǎn)，明確解決問(wèn)題的方向與目標(biāo)，再進(jìn)一步探究和推導(dǎo)，驗(yàn)證該點(diǎn)滿(mǎn)足題意，得出一般情況下的結(jié)論。

2.在探究橢圓中的定值定點(diǎn)問(wèn)題中體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想、方法？

轉(zhuǎn)化、類(lèi)比思想，定值定點(diǎn)問(wèn)題可以相互轉(zhuǎn)化，可以類(lèi)比得到解題策略。由特殊到一般等思想，從特殊入手，先根據(jù)特殊位置、對(duì)稱(chēng)性等求出定值或定點(diǎn)，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)或者直線(xiàn)過(guò)該定點(diǎn)。消元、設(shè)而不求等方法的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算。

3.在處理本專(zhuān)題的問(wèn)題中，需要注意什么？

設(shè)出合適的直線(xiàn)方程;合理轉(zhuǎn)化題目條件，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系;韋達(dá)定理、判別式△>0等條件的運(yùn)用;邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力很重要。

4.通過(guò)本專(zhuān)題課的小組學(xué)習(xí)研討，你有什么收獲？

通過(guò)同學(xué)們分享，總結(jié)本專(zhuān)題課中收獲的知識(shí)與方法、數(shù)學(xué)思想等，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)的全過(guò)程，學(xué)會(huì)歸納總結(jié)本專(zhuān)題的規(guī)律方法，解決本專(zhuān)題的核心問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生多思考、多動(dòng)手、多總結(jié)。

（六）學(xué)習(xí)活動(dòng)

必做：1.已知橢圓C：+y2=1，點(diǎn)D（-2，0），直線(xiàn)l不過(guò)點(diǎn)D，且與橢圓C相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，DA⊥DB求證：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn).

2.已知橢圓C：+=1，點(diǎn)P（1，），斜率為的直線(xiàn)l不過(guò)點(diǎn)P，且與橢圓C交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)PA、PB的斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2為定值.

探究：已知點(diǎn)M（m，0），（m>）若過(guò)點(diǎn)P（，0），且不垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)l與橢圓C：+y2=1交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求證：∠AMP=∠BMP.

三、設(shè)計(jì)說(shuō)明

本節(jié)專(zhuān)題課利用相關(guān)的數(shù)學(xué)核心問(wèn)題及其變式對(duì)橢圓中的定值定點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行了深入分析，對(duì)學(xué)生可能遇到的困難進(jìn)行合理評(píng)估、預(yù)設(shè)。采用問(wèn)題引導(dǎo)、合作探究的教學(xué)方法，學(xué)生為主體，教師為引導(dǎo)者，通過(guò)學(xué)生自主思考、自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作探究等方式推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程，解決重難點(diǎn)知識(shí)。