玩轉高考真題
——三角函數圖象與性質

蘇 玖

真題再現 （2021·全國甲卷理科第16 題）已知函數f(x)=2cos(ωx+φ)的部

思維延伸：本題考查三角函數的周期性、對稱性、最值等性質，以及如何通過三角函數圖象判斷函數值的大小，從而得出不等式的最小正整數解.

改編1

原題可由圖象求解析式，解析式的表達方式不唯一，如2020年新高考山東卷第10 題（多選題），于是可改編為：

（多選題）已知函數f(x)=2cos(ωx+φ)的部分圖象如圖1所示（見真題圖），則2cos(ω x+)φ=（ ）

圖1

點撥：此題關鍵是要讀懂圖提供的信息，如周期是怎樣體現出來的？如何刻畫最高點或最低點？對稱中心在哪里？然后再求出相關參數的值．

改編2

也可以將三角函數圖象與三角形的相關幾何量結合，得到：

已知函數f(x)=Asinωx(A＞0,ω＞0)的部分圖象如圖2所示，點A，C是兩個相鄰的最高點和最低點，點B為對稱中心，O為坐標原點，OA⊥AC，且△AOC的面積為8．（1）求f(x) 的解析式；（2）求不等式(f(x)-f(-6))(f(x)-f(12))＞0最小正整數x的值．

圖2

點撥：如果從函數的解析式上出發求解不等式，運算量較大，但可以利用函數圖象找出不等式的最小正整數解．

改編3

如果結合函數圖象變換再求新函數的單調區間，于是有：

已知函數f(x)=Asinωx(A＞0,ω＞0)的部分圖象如圖所示，點A，C是兩

個相鄰的最高點和最低點，點B為對稱中心，O為坐標原點，OA⊥OC，且△AOC的面積為（1）求f(x)的解析式；（2）將f(x)的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的倍，將所得到的函數圖象向右平移個單位長度，得到函數g(x)的圖象，求g(x)的單調增區間．

圖3

點撥：利用函數圖象變換求出g(x)的函數解析式，根據正弦函數的單調增區間求出新函數的增區間．

改編4

可以將弦函數圖象與圓結合，再進行圖象變換，求新函數的值域或最值，如：

已知函數f(x)=Asinωx(A∈ N*,ω＞0)的圖象在圓x2+y2=4 內至少有一個最大值點和一個最小值點．（1）求ω的取值范圍；（2）當最小正周期T為最大正整數時，將f(x)的圖象向左平移個長度單位，再將得到的圖象縱坐標伸長為原來的2 倍，得到g(x)的圖象，當時，求g(x)的值域．

圖4

點撥：根據弦函數的圖象至少有一個最高點與最低點在圓內，可得振幅與周期的不等關系式，再根據振幅是正整數，可以確定T的范圍，即可求出f(x)的解析式，從而求出g(x)的解析式，這樣就得到值域．

改編5

也可以給出函數的奇偶性、單調區間和對稱中心來確定解析式，如：

已知函數f(x)=Asin(ωx+φ) (A＞0,ω≠ 0)是偶函數，其圖象關于點對稱，且在上單調遞增，求φ及ω的值．

改編6

如果已知函數的定義域和值域，又可以改編為：

已知函數f(x)=定義域為值域為[-1,5]，求a,b的值．

點撥:先利用二倍角公式和輔助角公式化簡函數式，根據函數的最值，再利用分類討論思想確定a與b的值．

改編7

若含有參數的三角函數圖象對稱性特征及經過特殊點都給出，結合三角函數求值問題又可以改編為：

已知函數f(x)=asinωx+bcosω x(ω＞0,ab≠0)的圖象經過點和相鄰兩條對稱軸之間的距離為

（1）求f(x)的解析式；

點撥:由三角函數圖象性質可得相鄰兩條對稱軸間的距離是半個周期，再結合圖象過兩個點建立方程組，求出解析式．根據已知銳角的組合式的三角函數值，利用拆角變換求出銳角的正弦值．

改編8

將三角函數的單調性與導數結合、圖象與函數的零點結合，又可以改編為：

已知函數f(x)=2cos2x+(2a-1)sinx+a-2，（1）若f(x)在區間上單調遞增，求a的取值范圍；（2）是否存在整數a及正整數n，使f(x)在開區間(0,nπ)上有2 023 個零點？若存在，求出所有a及n的值；否則請說明理由．

點撥：首先利用導數研究函數的單調性，求出a的取值范圍；其次利用因式分解，將函數零點轉化為兩個正弦函數圖象與特定直線的交點個數問題，最后利用分類討論思想和函數周期性求解．

回顧悟道：從一道填空題出發，結合三角函數圖象與性質進行改編．

策略一：由誘導公式可知，同一三角函數圖象可以有多個解析式，于是改編為多選題，如改編1；

策略二：根據三角函數圖象的對稱性與周期的關系，從三角形的特征出發（如面積、垂直等）進行改編，如改編題2-4；

策略三：根據函數圖象經過定點來確定參數的取值，再變換為新函數，研究新函數的性質（如單調性、值域等），如改編題5-7；

策略四：研究函數式中參數的存在性問題，改編為探索性題目，如改編題8．

參考答案

真題：2

改編題：1.BC 2.（1）f(x)=2sin；（2）x=5．3.（1）f(x)=；（2）(k∈Z)．4.（1）；（2）．5.φ=2kπ-6.a=2,b=-1，或a=-2,b=5．7.（1）f(x)=2sin；（2）sinα=．8.（1）；（2）當a=0 時，n=1012；當a=1 時，n=1349.

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小試牛刀

高考真題（2021·北京卷理科第14題）若點P(cosθ,sin)θ與點關于y軸對稱，寫出符合題意的一個θ值：_________．

命題意圖：根據高考真題的題型——開放型，引導編擬關于三角問題中開放型試題，培養發散性思維能力．

改編提示：（1）從奇偶性角度改編；（2）從值域確定解析式不唯一視角改編；（3）給出條件寫出一個解析式；（4）從參數取值不唯一改編成多選題．