高中數學知識與方法大梳理（四）

龍艷文

冪函數、指數函數、對數函數

類型一：冪函數的圖象和性質

例如圖所示，圖中的曲線是冪函數y=xn在第一象限的圖象，已知n取±2，四個值，則相應于C1，C2，C3，C4的n依次為（ ）

[方法總結]

解決冪函數圖象問題應把握的兩個原則：

（1）依據圖象高低判斷冪指數大小，相關結論為：

①在(0,1)上，指數越大，冪函數圖象越靠近x軸（簡記為指大圖低）；

②在(1,+∞)上，指數越大，冪函數圖象越遠離x軸（簡記為指大圖高）．

（2）依據圖象確定冪指數α與0,1 的大小關系，即根據冪函數在第一象限內的圖象（類似于y=x-1或或y=x3）來判斷．

類型二：指數函數的定義域、值域、單調性的應用

例1（1）函數y=ax-2+1(a＞0 且a≠1)的圖象過定點___________．

（2）函數y=2x+b的圖象不經過第二象限，則實數b的取值范圍是____________．

例2（1）不等式的解集是____________．

例3（1）解方程：4×4x-5×2x-6=0．

（3）已知9x-10 · 3x+9 ≤ 0，求函數y=a2x-ax+1（a>0 且a≠1）的最大值．

[方法總結]

方法：（1）指數方程與不等式問題關鍵是兩邊化同底．

（2）與指數函數有關的值域問題，

方法一：復合函數法，轉化為利用指數函數的單調性；

方法二：換元法．

注意：若底數為字母，則需考慮分類討論．

例4已知函數

（1）證明：f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增；（2）若f(x)為奇函數，求實數a的值．

類型三：對數函數定義域、值域、單調性應用

例1（1）當a＞0 且a≠1 時，函數y=1+logax的圖象必定過定點____________．

（2）函數y=logax和的圖象關于____________對稱．

例2（1）求下列函數的定義域．

①y=；②y=

（2）方程log2x+log2(x-3)=2的解為_______________．

[方法總結]

方法：解對數不等式和方程關鍵兩邊化同底．

注意：考慮對數的定義域或最后檢驗．

化同底的方法：0=loga1；1=loga a=a0；M=logaaM=alogaM．

例3（1）已知函數則它的值域為____________．

（2）若函數f(x)=logax在區間[a,2a]上的最大值是最小值的3 倍，求a的值．

（3）求函數f(x)=(log2x)2-2log2x+3,x∈[1,4]的值域．

[方法總結]

方法：與對數有關的最值問題，利用單調性或換元．

注意：考慮定義域和分類討論．

例4（1）函數y=log2(x2-4x-5)的單調區間為__________．

[方法總結]

方法：與對數有關的單調性，利用復合函數，結合圖象分析．

注意：考慮定義域和分類討論．

例5（1）已知函數y=(x2-mx+2)的定義域為R，則實數m的取值范圍為__________．

（2）已知函數y=(x2-mx+2)的值域為R，則實數m的取值范圍為____________．

[方法總結]注意：比較兩個問題的區別．

函數零點

類型一：函數零點判斷問題

例1（1）函數f(x)=的零點個數為（ ）

A.3 B.2 C.1 D.0

（2）函數f(x)=x3-x2-1的零點所在的區間是（ ）

A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)

（3）函數f(x)=2x+x-4零點所在區間為（ ）

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

（4）設f(x)=lnx+x-2，則函數f(x)的零點所在的區間為（ ）

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

例2（ 1）函數f(x)=lgx-x零點的個數為__________ ；

（2）函數f(x)=2x-x2零點的個數為__________．

[方法總結]

方法1：轉化為兩個函數數形結合．

合理轉化為兩個函數的圖象（易畫出圖象）的交點個數問題．兩個函數的圖象交點的個數，就是函數零點的個數．

注意：函數圖象的變化趨勢（如漸近線，趨近點等）．

方法2：利用零點存在定理．

利用函數零點存在定理進行判斷，必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數的零點個數．

方法3：解方程．

函數零點問題轉化為方程根的問題，即通過解方程，由方程是否有解來判斷函數是否有零點，其中方程有幾個解就對應著函數有幾個零點．

類型二：函數零點的應用

例1已知函數f(x)=若方程f(x)=a有兩個不相等的實數根，則實數a的取值范圍是（ ）

例2已知函數f(x)=g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2 個零點，則a的取值范圍是（ ）

A.[-1,0) B．[0,+∞) C.[-1,+∞) D．[1,+∞)

例3已知函數f(x)=恰有三個零點，則實數m的取值范圍是_________．

[方法總結]

方法：數形結合，合理轉化為兩個函數的圖象（易畫出圖象）的交點個數問題．兩個函數的圖象交點的個數，就是函數零點的個數．

注意：函數圖象的變化趨勢（如漸近線，趨近點等）．

例4若函數f(x)=4x-2x-a，x∈[-1,1]有零點，則實數a的取值范圍是_____．

例5若函數f(x)=2x--a的零點在區間(1,2)內，則實數a的取值范圍是（ ）

A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)

[方法總結]

方法1：轉化為方程有解問題．

方法2：參變分離，即a=F(x)，則a的范圍即為F(x)值域．

方法3：利用零點存在定理．

結論：已知函數y=f(x) 在區間(a,b) 上單調，若f(x) 在(a,b) 上存在零點，則f(a)f(b)<0．

注意：若y=f(x)在區間(a,b) 上不是單調函數，則上述結論不一定成立．

類型三：二次函數零點分布

例1（1）如果二次函數y=x2+mx+(m+3)在(0,+∞)上有兩個零點，求m的取值范圍．

（2）若方程x2-2ax+4a-3=0 的兩根均大于1，求實數a的取值范圍．

[方法總結]

方法1：韋達定理法，如對于二次方程根的分布情況．（兩根與某一非零常數的關系同理）．

例2（1）求實數m的范圍，使關于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0．

①有兩個實根，且一個比2 大，一個比2 小；②有兩個實根，且都比1 大；③有兩個實根α，β，且滿足0<α< 1<β<4；④一根小于1，另一根大于2；⑤兩根均在(1,4)之間．

（2）關于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的兩個實根一個小于1，另一個大于1，求實數k的取值范圍．

（3）在下列條件下，分別求出m的取值范圍．

①方程x2-mx-4=0 在[0,1]有解；②函數f(x)=x2-3x+4-m在[-1,1]上有零點．

[方法總結]

方法2：圖象分析法