正定矩陣三類典型的構造方法及其相關原理

◇東華理工大學理學院 胡康秀 丁 云 楊 揚 魏 艷

正定矩陣是從二次型的正定性中抽象出來的一個概念，由于其良好的性能，使其不僅在代數學中有著廣泛應用，同時在函數學、幾何學、圖像處理學、概率統計和物理學等其他學科中也都有很好的拓展。本文主要從幾個不同的角度探討正定矩陣的構造方法，并給出相應的理論原理。

1 引言

在數學的學習過程中，往往側重于對數學概念的熟悉、相關性質的理解以及對解題方法的掌握，而運用數學原理中構造性思維進行創新訓練不多。正定矩陣是一類非常特殊的矩陣，作為對稱矩陣的子類，除了具備對稱矩陣可對角化的性能之外，在矩陣分解理論中也有很好的的結論。大家在高等代數學習的過程中關注的更多的是正定矩陣的性質和應用，但是如何構造滿足需求的特殊的正定矩陣也值得大家思考與探究。本文從矩陣運算的角度入手，利用相關性質，從三個方面探究正定矩陣的構造思路及方法。

2 對稱矩陣的幾點性質

因為正定矩陣屬于對稱矩陣的范疇，為構造正定矩陣，下面分別從一般矩陣和對稱矩陣的角度探究對稱矩陣的構造方法。依據【性質1】可以由一般矩陣構造出對稱矩陣。

如果想在已有對稱矩陣的基礎上構造出新的對稱矩陣，那么則下面兩條性質是很好的思路和啟發。

接下來從矩陣元素、矩陣運算及特征值等三個角度分別給出正定矩陣的構造方法。

3 對稱矩陣的三種典型的構造方法

（1）元素構造法：從矩陣內部元素從發，通過選取特殊的數來構造滿足特定需要的正定矩陣。

（2）矩陣運算構造法：通過矩陣各類運算組合構造出滿足特定需要的正定矩陣。

（3）特征值構造法：特征值是正定矩陣一個非常直觀的屬性，依據矩陣運算特征值相關的性質來構造出滿足特定需要的正定矩陣。

4 結語

本文僅僅在數學理論的基礎上探究了正定矩陣的三類典型的構造方法，在實際應用中，要結合不同學科背景以及具體研究目標綜合運用。