尖子生拋物線及其幾何性質拔高訓練

■河南省河南師大附中西校區

■河南省許昌高中 陳俊濤

一、選擇題

1.已知拋物線C：x=8y2，則該拋物線的焦點到準線的距離為( )。

2.直線l過拋物線y2=2x的焦點F，且直線l與該拋物線交于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1+x2=3，則弦AB的長是( )。

A.4 B.5 C.6 D.8

3.已知拋物線y2=2px(p＞0)，過拋物線的焦點作x軸的垂線，與拋物線交于A，B兩點，點M的坐標為(-2，0)，且△ABM為直角三角形，則以直線AB為準線的拋物線的標準方程為( )。

A.y2=8x

B.y2=-8x

C.y2=-4x

D.y2=4x

4.點P在曲線y2=4x上，過P分別作直線x=-1及y=x+3的垂線，垂足分別為G，H，則|PG|+|PH|的最小值為( )。

5.已知拋物線y2=2px(p＞0)，過其焦點F的直線l與拋物線分別交于A、B兩點(點A在第一象限)，且，則直線l的傾斜角為( )。

6.已知拋物線y2=2px(p＞0)的準線與圓x2+y2-4y=0 相交所得的弦長為，則p的值為( )。

7.已知拋物線C：x2=12y上一點P，直線l：y=-3，過點P作PA⊥l，垂足為A，圓M：(x-4)2+y2=1 上有一動點N，則|PA|+|PN|最小值為( )。

A.2 B.4 C.6 D.8

8.拋物線C：x2=4y上一點P到拋物線C的焦點F的距離為4，若直線PF與拋物線C的另一個交點為Q，則|QF|等于( )。

9.已知拋物線C：x2=4y，直線l與拋物線C交于M，N兩點，焦點為F，，令R(xR，yR)，若yR=|MN|-1，則∠MFN的最大值為( )。

10.已知拋物線C：y2=2px的焦點為F，過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(設點A在第一象限)，分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為A1，B1，若△AFA1為等邊三角形，△BFB1的面積為S1，四邊形A1B1BF的面積為S2，則=( )。

11.已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點A(2，0)的直線與拋物線交于M，N兩點，直線FM，FN又分別與拋物線交于點P，Q，設直線PQ與MN的斜率分別為k1，k2，則=( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

12.拋物線y2=2px(p＞0)的準線交x軸于點C，焦點為F，過點C的直線l與拋物線交于不同兩點A，B，點A在點B，C之間，則( )。

A.AF·AB=BF2

B.AF+AB=2BF

C.AF·AB＞BF2

D.AF+AB＜2BF

13.已知拋物線y2=2px(p＞0)，F為拋物線的焦點，O為坐標原點，A(x1，y1)，B(x2，y2)為拋物線上的兩點，AB的中點到拋物線準線的距離為5，△ABO的重心為F，則p=( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

20.如圖1，拋物線y2=2px(p＞0)的焦點為F，斜率k=1的直線l過焦點F與拋物線交于A、B兩點，若拋物線的準線與x軸交點為N，則tan∠ANF=( )。

圖1

21.已知拋物線C：y2=2x，過點E(a，0)的直線l與拋物線C交于不同的兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且滿足y1y2=-4，以Q為中點的線段的兩端點分別為M，N，其中N在x軸上，M在拋物線C上，則|PM|的最小值為( )。

22.若拋物線y=x2上存在不同的兩點A、B關于直線y=kx+對稱，則k的取值范圍是( )。

23.設AB是過拋物線y2=4x的焦點F的一條弦(與x軸不垂直)，其垂直平分線交x軸于點G，設|AB|=m|FG|，則m=( )。

24.已知過點(2，0)的直線與拋物線y2=2x相交于P，Q兩點，點A(-2，2)，若直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，則k1·k2的取值范圍是( )。

25.已知點M(-3，-2)，拋物線x2=4y，F為拋物線的焦點，直線l為拋物線的準線，P為拋物線上一點，過P作PQ⊥l，點Q為垂足，過P作FQ的垂線l1，l1與l交于點R，則|QR|+|MR|的最小值為( )。

二、填空題

三、解答題

61.已知動圓M過定點A(0，2)，且在x軸上截得的弦長為4。

(1)求動圓圓心M的軌跡方程C；

(2)設不與x軸垂直的直線l與軌跡C交手不同兩點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，若=2，求證：直線l過定點。

62.已知拋物線C：y2=2px(p＞0)上的點M(2，m)到焦點F的距離為3。

(1)求p，m的值；

(2)過點P(1，1)作直線l交拋物線C于A，B兩點，且點P是線段AB的中點，求直線l的方程。

63.已知拋物線y2=2px(p＞0)上一點M(m，2)到其焦點F的距離為2。

(1)求該拋物線的標準方程；

(2)過x軸正半軸上一點N(n，0)作傾斜角為的直線l交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，求的值。

64.過拋物線C：x2=2py(p＞0)焦點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，交準線于點M，當|AB|=12 時，AB的中點到x軸的距離是5。

(1)求拋物線C的方程；

65.已知拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點為F，過點F的直線l與拋物線C交于M，N兩點。

(1)若F(2，0)，直線l的斜率為2，求△OMN的面積。

(2)設點P是線段MN的中點(點P與點F不重合，點Q(x0，0)是線段MN的垂直平分線與x軸的交點，若給定p值，請探究：是否為定值? 若是，求出該定值；若不是，請說明理由。

66.已知點A(0，2)，B為拋物線x2=2y-2上任意一點，且B為AC的中點，設動點C的軌跡為曲線E。

(1)求曲線E的方程。

(2)點A關于直線y=x的對稱點為點D，是否存在斜率為的直線l交曲線E于M，N兩點，使得△MDN是以MN為底邊的等腰三角形? 若存在，請求出△MDN的面積；若不存在，請說明理由。