淺談圓錐曲線離心率范圍問題常見的幾種求解策略

■河南省駐馬店市第一高級中學

在圓錐曲線中常常涉及與動點、動直線、動弦、動角以及軌跡有關的最值問題，這些最值問題覆蓋面廣、解題靈活，近幾年的高考題中此類問題經常出現。它往往與二次函數，三角函數等知識聯系在一起，有一定的綜合性，不容易掌握。下面舉例介紹幾種常見的最值問題求法，僅供參考。

一、構建目標函數求最值問題

例1(2017年浙江高考題)如圖1，已知拋物線x2=y，點，拋物線上的點P(x，y)，過 點B作直線AP的垂線，垂足為Q。

圖1

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值。

二、轉化為平面幾何知識求最值問題

例2如圖2，已知x，y滿足1，求z=y-3x的最值。

分析：將所給的函數式改寫為y=3x+z，則它表示斜率為3 的平行直線系方程，z是直線在y軸上的截距。由圖2 易知：在區域G：≤1內，z的最大、最小值在直線與橢圓相切時取得。

圖2

解：將y=3x+z代入=1，得169x2+96zx=16z2-400=0。

由Δ=0，得z=±13。

故所求的最大值為13，最小值為-13。

點評：若題目中的條件和結論有著明顯的幾何特征和意義，借用平面幾何知識解決問題可以大大簡化計算。

三、利用均值不等式求最值問題

例3(2017 年全國Ⅰ卷理科數學第10題)如圖3，已知點F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與拋物線C交于A，B兩點，直線l2與拋物線C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為( )。

圖3

A.16 B.14 C.12 D.10

解：因為拋物線C的方程為y2=4x，所以焦點為F(1，0)。

點評：有些求最值問題，可以先把要求的最值用參變量來表示，然后用基本不等式來解決，這時往往需要創造條件，進行巧妙構思。基本不等式是解最值問題的一種有效途徑，但要注意驗證等號是否成立。

小結：與圓錐曲線有關的范圍與最值問題，大都是綜合性問題，解法靈活，技巧性強。同學們只要能將上面介紹的這些策略掌握好并加以靈活運用，解決它就沒有問題了。