掃描圓錐曲線常見的易錯點

■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學

易錯點1 忽視動點坐標的設法致錯

例1設線段AB的兩個端點A、B分別在坐標軸上滑動，且|AB|=4，點P是線段AB的中點，則點P的軌跡方程是( )。

A.x2+y2=16 B.x2+y2=4

C.x2-y2=16 D.x2-y2=4

圖1

錯解：如圖1 所示，設A(0，y)，B(x，0)。由中點坐標公式可得點P的坐標為，連接OP，由直角三角形斜邊上的中線性質可得|OP|=|AB|=2。所以=4，即x2+y2=16。因此，點P的軌跡方程是x2+y2=16，選A。

錯因剖析：求軌跡方程，即求軌跡上任意一點的坐標所滿足的方程，并檢驗以方程的解為坐標的點是否都是軌跡上的點，因此，應設軌跡上任意一點的坐標為(x，y)。上述解法是因為動點坐標設的不對，即運用方法不當而導致錯誤。

正解：設中點P(x，y)，A(0，m)，B(n，0)，則m=2y，n=2x。因為|AB|=4，所以n2+m2=16，(2x)2+(2y)2=16，即x2+y2=4。因此，點P的軌跡方程是x2+y2=4，選B。

易錯點2 忽視定義中的條件致錯

例2若點M到兩定點F1(0，-1)，F2(0，1)的距離之和為2，則點M的軌跡是( )。

A.橢圓

B.直線F1F2

C.線段F1F2

D.線段F1F2的中垂線

錯解：根據橢圓的定義可知，點M的軌跡是橢圓，故選A。

錯因剖析：在橢圓的定義中，點M到兩定點F1，F2的距離之和必須大于兩定點的距離，即|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，亦即2a＞2c。而本題中|MF1|+|MF2|=|F1F2|，所以點M的軌跡不是橢圓，而是線段F1F2。

正解：因為點M到兩定點F1(0，-1)，F2(0，1)的距離之和為|F1F2|，所以點M的軌跡是線段F1F2，選C。

易錯點3 忽視標準方程的特征致錯

例3已知拋物線y=mx2(m≠0)的準線與直線y=1的距離為3，則拋物線的標準方程是_____。

易錯點4 忽視隱含條件致錯

例4已知正方形ABCD的頂點A、B在拋物線y2=x上，頂點C、D在直線y=x+4上，求正方形的邊長。

錯因剖析：在考慮直線AB與拋物線相交時，方程y2-y+b=0的判別式Δ＞0，以此來限制b的取舍。

易錯點5 忽視焦點位置的討論致錯

例5已知拋物線的焦點F在x軸上，點A(m，-3)在拋物線上，且|AF|=5，則拋物線的標準方程為____。

錯解：因為拋物線的焦點F在x軸上，且點A(m，-3)在拋物線上，所以拋物線的標準方程可設為y2=2px(p＞0)。設點A到拋物線準線的距離為d，則d=|AF|=

所以拋物線的標準方程為y2=2x或y2=8x。

錯因剖析：當拋物線的焦點位置無法確定時，需分類討論。

正解：因為拋物線的焦點F在x軸上，且點A(m，-3)在拋物線上，所以當m＞0時，點A在第四象限，拋物線的標準方程可設為y2=2px(p＞0)。

所以拋物線的標準方程為y2=2x或y2=8x。

當m＜0時，點A在第三象限，拋物線的標準方程可設為y2=-2px(p＞0)。

所以拋物線的標準方程為y2=-2x或y2=-8x。

綜上所述，拋物線的標準方程為y2=2x或y2=8x或y2=-2x或y2=-8x。